Операционные зависимости

Основные результаты операционного анализа формируются в виде соотношений между операционными переменными. Эти соотношения базируются на гипотезе о балансе потоков в сети: количество требований, которые поступили в некоторый узел в течение продолжительного периода времени Т, равно количеству требований, которые покинули этот узел. Эта гипотеза определяет условия работы сети СМО в постоянном режиме, т.е. считается, что требования всегда покидают узлы сети. Баланс потоков требований существует только для периода наблюдения, однако, это неплохое приближение в случае продолжительного периода времени Т, т.к. отношение обычно незначительное.

Гипотеза о балансе даёт возможность определить зависимость между операционными переменными для каждого узла сетей, а также записать уравнение баланса потоков требований:

. (5)

Справедливость выражения (5) следует из допущения о балансе потоков требований в сети, т.е. поскольку , но при условии, что , находим . Разделив последнее соотношение на общее время наблюдения Т, получим выражение (5). Уравнения (5) будут иметь единое решение для замкнутой сети в случае заданного значения . Для разомкнутой сети уравнения (5) будут линейно зависимыми, однако и в этом случае они дают полезную информацию о динамике потоков сети.

С помощью (4) находим продуктивность узла, т.е. интенсивность, с которой требования покидают узел .

Определим коэффициент посещения узла требованиями:

. (6)

Уравнения баланса потока можно записать как эквивалентную систему уравнений, в которой вместо интенсивности потоков используются коэффициенты посещения каждого узла сети.

Разделим левую и правую части выражения(5) на

(7)

Выражение (7) справедливо, если справедливо (5).

Связь коэффициентов посещения с продуктивностью узла определяется по формуле:

Вычислим среднее время пребывания требований в стохастической сети. Обозначим время пребывания требования в отдельных узлах через . Введем ещё одну операционную переменную , которая равна суммарному времени ожидания обслуживания требований в узле в течение времени Т:

(8)

Среднее время пребывания требований в системе можно найти через и коэффициенты посещения отдельных узлов требованиями, т.е.

(9)

Это общий закон времени пребывания, который справедлив и в том случае, когда гипотеза о балансе потоков не выполняется.

Найдем среднее количество требований в сети которое определяется через среднее количество требований в каждом узле , , где – операционная переменная, которую можно получить из основных операционных переменных:

10)

Для среднего времени пребывания требований в сети справедлив закон Литтла, т.е. среднее время пребывания требований в м узле определяется через среднее количество требований в нём и интенсивность потока:

(11)

Обосновать формулу Литтла можно также применяя операционный анализ.

Из равенства (10) найдем . Подставим полученную операционную переменную в равенство (8): .

Закон Литтла справедлив также для всей сети в целом. Подставив формулы (6), (11) в выражение (9), получим (12)

Покажем, как можно использовать основные соотношения операционного анализа для определения времени пребывания требований в замкнутой сети (рис.6).

Рис.6. Общая сеть СМО

Пусть имеется М устройств, время обслуживания требования каждым из них - . Среднее время обслуживания требования в сети определяется по формуле:

(13)

Выражение (13) следует из следующих соображений. Среднее время одного цикла взаимодействия, которое включает время обслуживания требования во внешней сети и пребывания в одном из М устройств, определяется суммой . Если допустить, что выполняется гипотеза о балансе потоков, то для заданного цикла справедлива формула Литтла. Поэтому величина определяет среднее количество занятых устройств или среднее количество работающих устройств для системы с отказами.

Рассмотрим примеры. Показанные в них модели сетей касаются моделирования вычислительных систем, однако, приведенные расчеты имеют общий характер.

Пример. Рассмотрим замкнутую сеть, которая имеет М=20 устройств. Среднее время обслуживания каждым устройством . Для узлов сети вероятность перемещения требований в узел составляет соответственно , а коэффициенты посещения этих узлов , , Узел загружен на 50%, среднее время обслуживания узлом поступающих требований составляет 25 мс. Найти среднее время пребывания и среднее количество требований в сети .

Решение. Определим коэффициент посещения узла , используя уравнение баланса потоков требований, записанное через коэффициенты посещения узлов:

.

Определим интенсивность поступления требований в сети:

.

По условию задачи и .

Находим среднее время пребывания требования в сети:

Для определения среднего количества требований в сети воспользуемся формулой Литтла:

Рис.7. Пример сети СМО

Пример. Разомкнутая сеть содержит М=40 устройств обслуживания. Среднее время обслуживания каждым устройством О сети известны следующие данные:

- среднее время нахождения требований, которые поступают в сеть от 40 устройств обслуживания, равно 5с;

- среднее время обслуживания любого требования в узле составляет 40 мс;

- каждое требование, которое поступает от каждого из М устройств обслуживания, порождает 10 требований, поступающих в узел ;

- каждое требование, которое поступает в систему извне, порождает 5 требований, поступающих в узел ;

- загруженность узла составляет 90%.

Определить нижнюю границу времени нахождения в сети требований, которые поступают от М устройств обслуживания с интенсивностью входного потока и от внешнего источника требований с интенсивностью , т.е. определяются пропускной способностью узла .

Рис.7. Пример сети СМО, которая имеет замкнутую и разомкнутую части

Переменные, которые касаются требований, поступающих от М устройств обслуживания, обозначим звёздочкой.

Из выражения находим , где – среднее время нахождения требований, которые поступили в сеть от 40 устройств обслуживания. Тогда

Интенсивность потока требований до узла определим как сумму интенсивностей потоков требований от устройств обслуживания и интенсивности потока внешних требований, т.е. . Тогда , или

Находим и Тогда

Вычислим интенсивность входного потока внешних требований в сети:

Допустим, что начальные условия изменились и интенсивность входного потока внешних требований увеличился втрое, т.е. Тогда Если среднее время обработки требований в узле не изменилось, то при загруженности узла на 100% максимально возможная интенсивность обслуживания требований в узле составит Таким образом, интенсивность обслуживания требований в узле (устройствами обслуживания, которые находятся в узле ) не может превышать (25-7,5)=17,5вимоги/с.

Отсюда

Нижняя граница времени нахождения в сети требований, которые поступают от 40 устройств обслуживания, составит .

Таким образом, увеличение интенсивности потока внешних требований в 3 раза приводит к увеличению среднего времени нахождения требований в сети, которые поступают от 40 устройств обслуживания, на 2,9с.