Рассмотрим применение метод Власова – Канторовича к расчету треугольных и скошенных пластин. Перейдем от ортогональной системы координат (x, y) к косоугольной системе (r, 
) по формулам [5]:
, 
, 
, 
. (4.14)
Рассмотрим пластину из квазиизотропного материала (рис.4.5). Примем, что цилиндрические жесткости 
и в общем случае 
. Для решения задачи изгиба пластин применим принцип Лагранжа. Считаем справедливыми гипотезы Кирхгоффа, а полная энергия имеет вид:
Переход к координатам (r, ) осуществляется с помощью следующих равенств:
; 
;
. (4.15)
Рис. 4.5. Треугольная пластина
Заменяя переменные в двойном интеграле в выражении энергии с помощью (4.15), получим
, (4.16)
где 
.
Согласно используемому методу функцию прогиба представим в виде конечного ряда:
, (4.17)
где через 
обозначены выбираемые функции. Подставляя разложение (4.17) в (4.16), получим
.
(4.18)
После интегрирования в (4.18) функции по 
выражение (4.18) представляет собой функционал вида
.
Согласно принципу Лагранжа функция 
, реализующая минимум функционал, должна удовлетворять уравнению Эйлера-Лагранжа
.
В развернутом виде это уравнение примет вид
, (4.19) где 
, 
,
Если края пластины 
и 
свободны от закрепления, то естественные граничные условия имеют вид:
; 
.
Рассмотрим решение в случае одночленной аппроксимации. Примем, что жесткость в пластине . Для треугольной пластины на границе 
, где сходятся обе стороны в вершине, имеем особенность, поэтому при определении констант решение задачи из условия регулярности решения в этой точке константы решения в этой точке необходимо принять нулю. Для данной задачи имеется аналог выбираемой функции, который был рассмотрен в предыдущей задаче для прямоугольной пластины. Для выбора функции рассмотрим балку единичной ширины. В треугольной пластинке 
принимаем для косоугольной системы координат 
. Прогиб в этом случае примет вид 
.
|
|
Заменяя здесь 
и 
через 
и с помощью формул (4.14) и отбрасывая множитель 
, который может быть отнесен к функции 
, окончательно получим
.
Для косоугольной пластинки:
При одночленной аппроксимации разрешающее уравнение (4.19) для треугольной пластинки примет вид:
, (4.20)
где 
, 
,
,
, 
.
Граничные условия при и запишутся в виде
;
,
где 
, 
, 
,
,
, 
.
Уравнение (4.20) есть уравнение типа Эйлера. Решение этого уравнения будем искать в виде 
.
Подставляя в уравнение (4.20) получим для однородного уравнения характеристическое уравнение:
,
где 
, 
, 
; 
; 
.
К общему решению однородного уравнения необходимо добавить частный интеграл, вид которого определяет поверхностная нагрузка.
В качестве примера рассмотрим треугольную пластину с углом стреловидности по передней кромке 
. Выбирая решение в виде
,
и вычисляя коэффициенты уравнения, запишем его в виде
.
Характеристическое уравнение примет вид
.
Решение этого уравнения дает два отрицательных действительных корня и два комплексных корня, которые равны
.
В общем виде решение задачи запишется в форме
.
Действительные корни в точке 
дают бесконечность, то есть нарушают регулярность решения задачи и поэтому коэффициенты 
. Решение уравнений естественных граничных условий для края дает значение двух других констант
, 
.
По расчету максимальный прогиб пластины в угловой точке равен
|
|
.
Экспериментальное значение прогиба дало результат
.
Сравнение результатов показывает, что аналитическое решение дает хорошее совпадение с экспериментом и может использоваться как в расчетах, так и в задачах проектирования.