Решение показательных неравенств

Определение: Показательным неравенством называется неравенство, в котором неизвестное содержится в показателе степени.

Теорема: Если а^х>а^в, где, а≠1, то

1) Если а>0, то х > в, то есть знак сохраняется

2) Если а<0, то х < в, то есть знак меняется

 

2. Примеры и упражнения

Пример 1: Упростить выражение:

1)

2)

Пример 2: Решить показательное уравнение:

4^х-8=64

Решение:

4^х-8=4³

х-8=3

х=3+8

х=11

Ответ:х=11

Пример 3: Решить показательное уравнение:

3^х+2+3^х=90

Решение:

3^х·3²+3^х=90 t=9

Пусть 3^х=t,t>0 3^х=9

t·3²+t=90 3^х=3²

9t+t=90 х=2

10t=90 Ответ: х=2

t=

t=9

Пример 4: Решить показательное уравнение:

2^х-1+2^х=6

Решение:

+2^х=6

Пусть 2^х=t,t>0 t=

+t=6 t=4

+t=6 2^х=4

2^х=2²

1t+2t=12 х=2

3t=12 Ответ: х=2

Пример 5: Решить показательное уравнение:

3^х+1-4·3^х-2=69

Решение:

3^х·3¹-4· =69

Пусть 3^х=t,t>0 t=

t·3¹-4· =69 t=27

3t- =69 3^х=27

3^х=3³

27t-4t=621 х=3

23t=621 Ответ: х=3

Пример 6: Решить показательное уравнение:

9^х +8·3^х –9 = 0

Решение:

(3²)^х+8·3^х –9 = 0

(3^х)²+8·3^х –9 = 0

Пусть 3^х =t, t > 0

t² +8· t –9 =0

а=1, b=8, с=-9

t_{1,2= =}

t₁= t₂=

t₁= 1 t₂= -9, не уд., так как t>0

3^х = 1

3^х =3⁰

х=0

Ответ: х=0

 

Пример 7: Решить показательное неравенство:

2^3х-5>16

Решение:

2^3х-5>2⁴, т.к. 2>1, то знак сохраняем

3х-5>4

3х>4+5

3х>9

х>

х>3, Ответ: х>3

 

Пример 8: Решить показательное неравенство:

3^х+2+3^х-1<28

Решение:

3^х·3²+ <28

Пусть 3^х=t,t>0 t<

t·3²+ <28 t<3

9t+ <28 3^х<3

3^х<3¹, т.к.3>1, то знак сохраняем

27t+t<84 х<1

28t<84 Ответ: х<1

 

 

Варианты контрольной работы

Задание 1: Упростить выражения

 

Вариант 1:

Вариант 2:

Вариант 3:

Вариант 4:

Вариант 5:

Вариант 6:

Вариант 7:

Вариант 8:

Вариант 9:

Вариант 10:

Вариант 11:

Вариант 12:

Вариант 13:

Вариант14:

Вариант 15:

Вариант 16:

Вариант 17:

Вариант 18:

Вариант1 9:

Вариант 20:

Вариант 21:

Вариант 22:

Вариант 23:

Вариант 24:

Вариант 25:

Вариант 26:

Вариант 27:

Вариант 28:

Вариант 29:

Вариант 30:

Задание 2: Решить показательное уравнение

Вариант 1:

3х+1=1

3х-2· 3х-2=7

Вариант 2:

4х+516

9· 3х-1+ 3х=36

Вариант 3:

4х=1	3х+2+3х=810

Вариант 4:

32х=3

4·3х+2+ 5·3х+1 -6·3х=5

Вариант 5:

3х=27

4х-3· 4х-2=13

Вариант 6:

3х·32=9

4· 3х-1+ 3х+1=117

Вариант 7:

17х=1

2х+1+2х-1=5

Вариант 8:

13х+1=13

2х+1+5·2х-2=104

Вариант 9:

4х=256	7х-7х-1=6
Вариант 10: 28х=16	5х+1-3·5х-2=122

Вариант 11:

3х+4=81

10·5х-1+ 5х+1=7

Вариант 12:

173х-5=17

8·2х-1- 2х=48

Вариант 13:

32+х=37

3х+1-4·3х-2=69

Вариант14:

164х=16

5х+1+5х+5х-1=31

Вариант 15:

4х-1=16

3х-3х-2=24

Вариант 16:

32х-1=1

4х+1+4х-2=260

Вариант 17:

53х=125

3х+2-5· 3х=36

Вариант 18:

17х-1=17

7х+2-14· 7х=5

Вариант1 9:

43х-4=16

5х+1+5х-2=630

Вариант 20:

(5х)2=25

2х+4-2х=120

Вариант 21:

9х+1=81

9Х-4·3х-45=0

Вариант 22:

43х+1=64

25Х-6·5х+5=0

Вариант 23:

52х+7=5

4х+2х+3-20=0

Вариант 24:

14х+5=1

4Х-14·2х-32=0

Вариант 25:

(3х)3=27

2х-23-х=7

Вариант 26:

15х+2=225

2·5х+2-10·5х=8

Вариант 27:

2х+4=8

3х-3+5х-1=10

Вариант 28:

52х=25

2х-2+2х-1+2х=14

Вариант 29:

4х=1	2·4х-5·2х+2=0

Вариант 30:

53х=125

3х+2-5· 3х=36

Задание 3: Решить показательное неравенство

Вариант 1: 8^-2х< 64

Вариант 2: 3^1-х<

Вариант 3: 2^2х+1>8

Вариант 4: ()^х+1<

Вариант 5: 4^2х+1>4

Вариант 6: 2^х+4-2^х>120

Вариант 7: ()^4+6х< ^3х-3

Вариант 8: 8·2^х-1- 2^х>48

Вариант 9: 10^2+х< 100000

Вариант 10: 2^х+1+2^х-1<5

Вариант 11: 4· 3^х-1+ 3^х+1>117

Вариант 12: 5^х+4< 625

Вариант 13: 3^х+2+3^х810

Вариант14: 9· 3^х-1+ 3^х<36

Вариант 15: 10^х+1< 1000000

Вариант 16: ()^6-3х> ^2х-1

Вариант 17: (6)^х-1>36^х-1

Вариант 18: 7^х-3< 49^х

Вариант1 9: 10^3х-1>1000

Вариант 20: 2^х-1< 16^х+2

Вариант 21: 2·5^х+2-10·5^х< 8

Вариант 22: 5^2-х< 25

Вариант 23: 5^1-3х<

Вариант 24: 2^1-х>32^х

Вариант 25: ()^4-2х< ^х+1

Вариант 26: 7^х+1>49^х

Вариант 27: 3^х-2· 3^х-2>7

Вариант 28: 4^х-3· 4^х-2<13

Вариант 29: 3^2-х< 27

Вариант 30: 10^2х+1<

 

Учебно – методическое обеспечение дисциплины

Печатные издания

1. Башмаков М.И. Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования.— М., 2014.

2. Башмаков М.И. Математика. Задачник: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования.— М., 2014.

3. Дадаян А.А. Математика: учебник. / А.А. Дадаян.-3-е изд. – М.: ФОРУМ, 2013.- 544с.- (Профессиональное образование).

 

3.2.1 Электронные издания (электронные ресурсы):

1. Дадаян, А.А. Математика: учебник / А.А. Дадаян. — 3-е изд. — Москва: ФОРУМ, 2013. — 544 с. — (Профессиональное образование)

https://znanium.com/catalog/product/397662

.