П3.3 Пример исследования моделей





 

Анализ описанных выше моделей (1) и (2) выполняется при допущении, что все параметры и коэффициенты положительны (некоторые в частных случаях принимаются равными нулю) и не зависят от времени. Исследование систем уравнений начинаем с определения точек стационарных состояний, их типа и устойчивости. Модель (1) в общем случае имеет три особые точки, координаты которых определяются формулами:

 

(3)

(4)

(5)

 

В частном случае, при , в системе могут быть две особые точки. Тип и устойчивость точек определяется, как обычно, характеристическим уравнением для линеаризованной в окрестности этих точек системы.

Система (1) диссипативна при условии:

 

,

 

которое выполняется всегда при положительных а и с. Следовательно, имеется предположение о возможности существования гетероклинических контуров, определяющих вид траекторий в фазовом пространстве.

Уравнения (1) и (2) исследовались численно методом Рунге-Кутта с переменным шагом и точностью .

Зафиксируем константы модели (1), как указано в табл.1. Рассматривая коэффициенты d, e, f, k, l, m, n в качестве бифуркационных параметров, можем обнаружить все основные виды решений, характерных для трехмерных автономных нелинейных систем: стационарное состояние, предельный цикл, хаотический аттрактор и другие типы циклов различной периодичности. Например, на рис.2 и 3 представлены хаотический аттрактор, а также циклы типа и (в терминологии, принятой в работе [4]).

 

Таблица 1

Параметры модели макросистемы

a b c d e f g
0.2 2.5 0.3 1.535
k l m n X Y Z

 

а б в

 

Рис.2. Проекции хаотического аттрактора (параметры соответствуют табл.1)

в координатах: а – z(y); б – x(z)

 

а б

 

Рис.3. Циклы типа и при d = 2, e = 0.5, k = m = 0.5, l = n = 1

(остальные параметры как в табл.1): а – f = 21; б – f = 10

 

Предположение о возможности существования гетероклинического контура косвенно подтверждается видом аттрактора (рис.4), полученного в системе (1) с параметрами, заданными в табл.2. На рис.4, б приведена зависимость z(t), которая свидетельствует о существовании так называемых контрастных структур и пограничного слоя [5] в решениях модели. Эти особенности являются неслучайными, так как при заданных в табл.2 параметрах система стремится к сингулярно возмущенной задаче, что и является, по-видимому, источником подобных эффектов. Зависимость z(t) весьма напоминает при этом некоторую стратегию управления запасами, что придает модели (1) практическую привлекательность.

 

Таблица 2

Параметры модели макросистемы для случая

Контрастных структур

a b c d e f g
0.23 2.937 72,1 1.532 14,9
k l m n X Y Z
0.49

 

а б в

Рис.4. Проекция аттрактора (а, отмечены особые точки) с контрастными структурами и погранслоем (б)

 

К сожалению, в рамках данной статьи невозможно привести все найденные виды решений, исследование которых в настоящий момент находится тем не менее на начальной стадии.

Система (2) может иметь различное, в зависимости от числа действительных корней уравнения 4-й степени, количество особых точек. Это уравнение здесь не приводим ввиду его громоздкости.

В табл.3 представлены значения параметров модели и начальные условия, которые принимались при изучении системы (2).

Таблица 3

Параметры и начальные условия модели

a b c d e f g h
2,5 0,2 0,5 1,5
k m X Y Z X0 y0 z0
0,5

Практический интерес представляет решение системы, полученное при f = 8 (1/мин) и приведенное на рис.5. Здесь имеет место циклический характер работы системы. Временная зависимость переменных x и y показывает изменение числа автобусов и пассажиров на остановке, напоминающее известные функции из теории управления запасами, как и в модели (1). В течение некоторого времени число автобусов на остановке плавно уменьшается, число пассажиров остается до определенного момента почти постоянным, затем их количество заметно уменьшается и практически мгновенно (в масштабе времени одного цикла) осуществляется интенсивный переходный процесс, связанный с накоплением пассажиров и автобусов до исходного уровня. Эти пилообразные кривые представляют своего рода временные (контрастные, как и в модели грузового склада) структуры, показывающие согласованный характер работы всех элементов (остановок) макросистемы, т.е. самоорганизацию. Изучение подобных структур в реальных системах позволит сформулировать постановку задачи теории управления для создания требуемых типов временных структур в течение дня работы автобусного парка.

В модели реализуется каскад бифуркаций, приводящих к нерегулярному аттрактору. Параметры, приведенные в таблице, соответствуют этому решению, которое показано на рис.6. Таким образом, в системе уравнений (2) также имеется детерминированный хаос, возникающий в результате гомоклинического каскада бифуркаций [4].

а б

Рис.5. Решение модели (2) при f = 8 (1/мин):

а – временные зависимости; б – фазовый портрет

 

а б

Рис.6. Хаотический аттрактор в модели пассажирской остановки:

а – временные зависимости; б – проекции фазового портрета

 





Читайте также:
Основные направления модернизма: главной целью модернизма является создание...
Основные признаки растений: В современном мире насчитывают более 550 тыс. видов растений. Они составляют около...
Методы лингвистического анализа: Как всякая наука, лингвистика имеет свои методы...
Задачи и функции аптечной организации: Аптеки классифицируют на обслуживающие население; они могут быть...

Рекомендуемые страницы:



Вам нужно быстро и легко написать вашу работу? Тогда вам сюда...

Поиск по сайту

©2015-2021 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-03-24 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту:

Мы поможем в написании ваших работ! Мы поможем в написании ваших работ! Мы поможем в написании ваших работ!
Обратная связь
0.011 с.