РАБОТЕ №7
Пример 1. Исследуйте сходимость числового ряда
.
Решение. Имеем un = 
, un +1 = 
. Применяя признак Даламбера, вычислим
l = 
= 
= = 
= 0 < 1.
По признаку Даламбера данный ряд сходится.
Пример 2. Исследуйте сходимость числового ряда
.
Решение. Введем функцию f (x) = 
, удовлетворяющую условиям 
. Отметим, что эта функция положительная, непрерывная и убывающая при 
.Воспользуемся интегральным признаком. Для этого вычислим
= 
= 
=
= 
= 
– 
= 
.
Несобственный интеграл сходится, следовательно, сходится и данный ряд
Пример 3. Найдите область сходимости степенного ряда
.
Решение. Составим ряд из модулей членов данного ряда 
и вычислим l = 
=
= 
= 
.
По признаку Даламбера ряд сходится при l < 1, отсюда < 1 или | x | < 3. Следовательно, ряд абсолютно сходится при x 
(–3,3). Исследуем сходимость ряда в граничных точках. При x =3 и x = –3 из данного ряда получаем соответственно числовые ряды 
и 
. Из интегрального признака сходимости следует, что эти ряды сходятся абсолютно, поэтому областью сходимости данного ряда является промежуток [–3,3].
Пример 4. Вычислите определенный интеграл
cos 
dx,
взяв шесть первых слагаемых разложения подынтегральной функции в ряд Маклорена и затем проинтегрировав их почленно.
Решение. Пользуясь рядом Маклорена для cos x, заменяя в нем x на 
, имеем
cos 
=1 – 
+ 
– 
+ 
– 
... (x 
0). Интегрируя в указанных пределах, получим
Пример 5. Разложите функцию f (x) = 
+ x в ряд Фурье в интервале (– , ).
Решение. Функция удовлетворяет условиям теоремы о сходимости, следовательно, ее можно разложить в ряд Фурье.
Определяем коэффициенты ряда Фурье
a0 = 
f (x) dx = (
+ x) dx = dx + x dx.
Второй интеграл равен нулю как интеграл от нечетной функции, взятый по интервалу, симметричному относительно начала координат. Поэтому a0 = 
dx = 2 . Аналогично,
= f (x) cos mx dx = ( + x) cos mx dx =
= cos mx dx + x cos mx dx =0.
Далее, 
= f (x) sin mx dx = ( + x) sin mx dx =
= sin mx dx + x sin mx dx.
Первый интеграл равен нулю. Подынтегральная функция второго интеграла четная, т.к. является произведением двух нечетных функций. Таким образом,
= 
x sin mx dx = 
=
= – 
cos mx 
+ 
cos mx dx = – 
cos m 
+
+ 
sin mx 
=– 
(–1) 
= 
.
Разложение функции f (x) в ряд Фурье имеет вид
f (x) = + 2 
sin mx = +2 
sin 2 x +
+ 
sin 3 x – 
.
Пример 6. Разложите функцию f (x) = 
в ряд Фурье.
Решение. График периодического продолжения заданной функции на всю числовую ось с периодом 2 l = 4 имеет вид, изображенный на рис.3.
Рис. 1.
Определяем коэффициенты ряда Фурье
a0 = 
f (x) dx = 
f (x) dx =
= 
= x 
=2,
= f (x) cos 
dx = 
2 cos 
dx =
= 
sin 
= (sin n - sin 0) = 0,
= f (x) sin dx = 
2sin dx =
= cos = (– cos n + 1) = [(–1) 
+ 1]=
= 
Получаем ряд Фурье
f (x) = 1 + 
+ sin 
+... + 
.
Пример 7. Найдите изображение по Лапласу функции
f (x)= 
cos 4 t sin 2 t.
Решение. Предварительно преобразуем исходную функцию, воспользовавшись формулой
sin ax cos bx = (sin (a+b) + sin (a – b)),
будем иметь f (x) = (sin 6 t –sin 2 t). Зная изображения функций sin 6 t 
и sin 2 t 
, по теореме смещения получим
sin 6 t 
; sin 2 t 
.
Используя свойство линейности изображений Лапласа, окончательно запишем
f (x) = sin 6 t – sin 2 t
- .
Пример 8. Найдите функцию-оригинал для функции
F (p)= 
.
Решение. Для отыскания функции-оригинала по данному изображению разложим функцию F (p) на простейшие дроби
F (p) = 
= 
+ 
+ 
.
Неизвестные А, В, С и D находим методом неопределенных коэффициентов. Для этого приводим правую часть равенства к общему знаменателю
= 
.
Из тождественного равенства дробей заключаем, что коэффициенты при соответствующих степенях р в числителях дробей слева и справа от знака равенства должны быть равны. Это приводит к следующей системе уравнений для коэффициентов А, В, С, D
А + С = 0 Откуда получаем
В + D = 0 A = 0, B = 1/4,
4 A = 0 C = 0, D = –1/4.
4 B = 1.
Поэтому = 
– 
.
Для каждой из полученных дробей с помощью таблицы изображений основных элементарных функций легко установить функцию-оригинал
t; 
= 
sin 2 t.
Откуда F (p) = t – sin 2 t.
Пример 9. Методом операционного исчисления найдите решение дифференциального уравнения 
с начальными условиями х (0) = 0, 
1.
Решение. Пусть решение x (t) имеет изображение 
(p), x (t) ¸ 
(p). Тогда по теореме о дифференцировании оригинала получим 
(t) ¸ p (p) - x (0); 
(t) ¸ p 2 
(p) - p x (0)- 
(0).
Запишем изображение правой части исходного уравнения 
¸ 
, тогда заданное дифференциальное уравнение примет вид
(p 2 
(p) - 1) - 3 (p (p) - 0) - 4 
(p) =
или (p) (p 2- 3 p - 4) = 1+ 
.
Поэтому (p) = 
.
Функция (p) является изображением решения исходной задачи. Найдем функцию-оригинал x (t). Для этого разложим дробь на простейшие
= 
= 
+ 
+ 
.
Методом неопределенных коэффициентов получим А= 1/5, B= 4/25, C=- 4/25.
Для полученных дробей найдем функции-оригиналы
¸ t; 
¸ 
; 
¸ 
.
Окончательно решение дифференциального уравнения запишется в виде
x (t) = 
+ 
- 
.
Пример 10. Найдите решения системы уравнений
удовлетворяющие начальным условиям x (0) = y (0) = 0.
Решение. Обозначим x (t) ¸ x (p), y (t) ¸` 
(p) и напишем систему вспомогательных уравнений
(3 p + 2) (p) + p 
(p) = 1/ p, p 
(p) +(4 p + 3) 
(p) = 0.
Решая эту систему, находим
(p) = 
= 
- 
- 
,
(p) = - 
= = 
.
Здесь правые части уравнений разложены на простейшие дроби, как показано в примере 8. По изображениям находим функции-оригиналы, т.е. искомые решения системы
x(t) = - - 
,
у (t) = (
- ).