ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ К КОНТРОЛЬНОЙ

РАБОТЕ № 8

Пример 1. Два стрелка производят по одному выстрелу по одной мишени. Первый попадает в мишень с вероятностью 0,8, второй - с вероятностью 0,6. Найдите вероятность того, что: а) оба стрелка попадут в мишень, б) оба стрелка промахнутся, в) только один стрелок попадет, г) хотя бы один стрелок попадет в мишень.

Решение. Пусть событие А означает, что первый стрелок попал в мишень, событие В - попал второй. По условию Р (А) = 0,8, Р (В) = 0,6.

а) Пусть событие С - оба стрелка попали в мишень, тогда С = АВ. Поэтому, учитывая независимость событий А и В, по теореме умножения вероятностей имеем

Р (С) = Р (АВ) = Р (А) Р (В) = 0,8 × 0,6 = 0,48.

б) Перейдем к противоположным событиям, которые состоят в том, что первый стрелок промахнулся , второй стрелок промахнулся . Тогда событие D = означает, что оба стрелка промахнулись.

Р (D) = Р ( ) = Р () P ()= (1 – Р (А)) (1 – Р (В)) = =0,2 × 0,4 = 0,08.

в) Событие Е –только один стрелок попал – можно представить в виде Е = А + В . События А и В несовместные. Поэтому, применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получим

Р (Е) = Р (А + В ) = P (А )+ Р (В ) =

= P (А) Р ()+ Р (В) Р () = 0,8 × 0,4 + 0,6 × 0,2 = 0,44.

г) Вероятность появления хотя бы одного из совместных событий А, В равна разности между единицей и вероятностью произведения противоположных событий , . Пусть событие F – хотя бы один стрелок попал. Тогда

Р (F) = 1 – Р ( ) = 1 – Р () P () = 1 – 0,2 × 0,4 = 0,92.

Пример 2. В первой урне 2 белых и 3 черных шара, во второй – 7 белых и 1 черный. Из первой урны в первую переложили 2 шара, затем наудачу извлекли шар из второй урны. Найдите вероятность того, что выбранный из второй урны шар – белый.

Решение. Если событие А может произойти только совместно с одним из событий Н ₁, Н ₂,..., Н , образующих полную группу несовместных событий (гипотез), то вероятность Р (А) появления события определяется по формуле полной вероятности: Р (А) = Р (H ) Р (А/H ), где Р (H ) - вероятность гипотезы H , Р (А/H ) - условная вероятность события А при этой гипотезе.

Вероятность извлечения белого шара из второй урны после добавления двух шаров из первой урны зависит от состава шаров (по цвету) в этой урне. При этом возможны следующие гипотезы:

Н ₁– из первой урны во вторую переложены два белых шара,

Н ₂ – из первой урны во вторую переложен один белый и один черный шар,

Н ₃ – из первой урны во вторую переложены два черных шара.

Найдем вероятности этих гипотез. Вероятность каждой гипотезы связана с вероятностью извлечения соответствующих шаров из первой урны. Тогда получим

Р (Н ₁) = = 0,1,

Р (Н ₂) = = 0,6,

Р (Н ₃) = = 0,3.

Пусть А – событие, состоящее в извлечении белого шара из второй урны, если предварительно имела место одна из гипотез Н_i. Условные вероятности события А будут:

Р (А/H ₁) = 9/10, Р (A/Н ₂) = 8/10, Р (A/Н ₃) = 7/10.

По формуле полной вероятности найдем вероятность извлечения белого шара из второй урны

Р (А) = Р (H ₁) Р (А/H ₁) + Р (H ₂) Р (А/H ₂) + Р (H ₃) Р (А/H ₃) =

= 0,1× 0,9 + 0,6× 0,8 + 0,3× 0,7 = 0,78.

Пример 3. Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго – 0,5, для третьего – 0,8. Мишень не поражена. Найдите вероятность, что выстрелы произведены первым стрелком.

Решение. Если вероятности гипотез до опыта были Р (Н ₁), Р (Н ₂),..., Р (Н ), а в результате опыта появилось событие А, то условная вероятность Р (Н / A) с учетом появления события А вычисляется по формуле Бейеса:

Р (Н / A) = .

Возможны три гипотезы: H ₁–на линию огня вызван первый стрелок; H ₂–на линию огня вызван второй стрелок; H ₃–на линию огня вызван третий стрелок. Так как вызов на линию огня любого стрелка равновозможен, то вероятности этих гипотез до опыта равны Р (H ₁) = Р (H ₂) = Р (H ₃) = 1/3.

В результате опыта наблюдалось событие А – после произведенных двух выстрелов мишень не поражена. Условные вероятности этого события равны

Р (А/H ₁) = 0,7 × 0,7 = 0,49; Р (А/H ₂) = 0,5 × 0,5 = 0,25; Р (А/H ₃) = 0,2 × 0,2 = 0,04.

По формуле Бейеса для частного случая, когда вероятности гипотезы опыта равны между собой, находим вероятность гипотезы Н ₁после опыта:

Р (H ₁/ A) = = 0,628

Пример 4. Найдите вероятность того, что в пяти независимых испытаниях событие появится: а) ровно 3 раза, б) не менее трех раз, в) не более трех раз г) хотя бы один раз, – если в каждом испытании вероятность появления этого события равна 0,8.

Решение. Так как число испытаний невелики, то для вычисления искомой вероятности воспользуемся формулой Бернулли: (k) = , где – число сочетаний из n элементов по k, q = 1 – p. В рассматриваемом случае:

а) вероятность появления события ровно 3 раза в 5 испытаниях равна

P (3) = = = 0,2048.

б) вероятность появления события не менее трех раз в 5 испытаниях равна

P (3) + P (4) + P (5)= 0,2048 + + + = 0,2048 + 0,4096 + 0,3277 = 0,9421.

в) вероятность появления события не более 3 раз в 5 испытаниях равна

P (0)+ P (1) + P (2) + P (3)= 1 – P (4)– P (5)=

= 1 – 0,4096 – 0,3277 = 0,2629.

г) вероятность появления события хотя бы один раз в 5 испытаниях равна

P (1) + P (2) + P (3) + P (4) + P (5) = 1 – P (0) =

=1 – = 1 – 0,0003 = 0,9997.

При решении б) – г) использована теорема сложения вероятностей несовместных событий, а при решении в), г) – понятие противоположных событий, сумма вероятностей которых равна 1.

Пример 5. Вероятность попадания в цель у стрелка р = =0,8. Производится три выстрела. Построить ряд распределения случайной величины Х – числа попаданий в цель. Найдите математическое ожидание М [ X ] и дисперсию D [ X ].

Решение. Случайная величина Х может принимать значения: 0, 1, 2, 3. Вероятность того, что попаданий не будет р (х= 0) найдем по формуле Бернулли P (k) = , здесь p = 0,8, q = 1– p= 0,2, n = 3, k = 0.

p (x= 0) = = = 0,008.

Аналогично найдем p (x= 1) – в результате трех выстрелов будет одно попадание

p (x= 1)= = 0,8 0,4 = 0,096;

p (x= 2)= 0,384; p (x= 3)=0,512.

Ряд распределения будет иметь вид

	x _i
	p _i	0,008	0,096	0,384	0,512

Математическое ожидание М [ Х ] и дисперсию D [ Х ] определим по формулам

М [ X ] = х_ip_i = 0,096 + 2×0,384 + 3×0,512 = 2,4;

D [ X ] = (х_i -M [ X ])² p _i; или

D [ X ] = M [ X ²] – (M [ X ])².

Предварительно построим ряд распределения случайной величины X ²

	x _i ²
	p _i	0,008	0,096	0,384	0,512

M [ X ²] = 0,096 + 4×0,384 + 9×0,512 =6,24.

D [ X ]=6,24 – (2,4)²= 0,48.

Пример 6. Дана плотность распределения

случайной величины Х. Найдите параметр а, функцию распределения случайной величины, математическое ожидание М [ X ], дисперсию D [ X ], вероятность выполнения неравенства

0 < X< 1.

Решение. Для определения параметра а воспользуемся основным свойством плотности распределения

f (x) dx = 1, т.к. при x [-1,1] плотность вероятности равна нулю, то получим равенство

dx = 1,

Вычислим интеграл

dx=

Поэтому , отсюда .

Функция распределения связана с функцией плотности соотношением

F (x) = f (x) dx.

1) х <- 1, F (x) = 0 dx=0;

2) -1 x <1, F (x) = 0 dx +

3) х 1, F (x) =

Таким образом, F (x) =

Математическое ожидание М [ Х ] и дисперсию D [ Х ] определим по формулам

М [ X ] = х f (x) dx, D [ X ] = (х - M [ X ])² f (x) dx.

В нашем случае

М [ X ]= d x= =

D [ X ] = dх = dх – =

Вероятность выполнения неравенства 0 < X < 1 определим по формуле

Р (0 < X < 1) = f (x) dx = F (1) – F (0) = 1–1/2= 1/2.

Пример 7. Найдите вероятность попадания в данный интервал (15,25) нормально распределенной случайной величины, если известны ее математическое ожидание а = 20 и среднее квадратическое отклонение s = 5.

Решение. Для определения искомой вероятности воспользуемся формулой

Р (a< Х < b) = Ф - Ф .

Здесь Ф (х)= - функция Лапласа, значения которой определяются по таблице. Учитывая, что функция Ф (х) нечетная, получим

Р (15< Х <25) = Ф - Ф =

= Ф (1) - Ф (- 1) = 2 Ф (1)= 2× 0,34 = 0,68.

Пример 8. Определите доверительный интервал для оценки с надежностью =0,95 неизвестного математического ожидания а нормально распределенного признака Х генеральной совокупности, если выборочное среднее равно = 14, объем выборки n = 25и генеральное среднее квадратическое отклонение = 5.

Решение. Требуется найти доверительный интервал

– < a < + (*)

Здесь t – значение аргумента функции Лапласа Ф (t). при котором 2 Ф (t)= . Все величины кроме t известны. Найдем t из соотношения Ф (t)= 0,95/2= 0,475.

По таблице функции Лапласа, зная ее значение, находим значение аргумента t =1,96. Подставив t =1,96, = 5,