Задача № 1.
Три стрелка одновременно произвели по одному выстрелу в общую мишень. Первый стрелок поражает мишень с вероятностью р 1, второй - с вероятностью р 2, третий - с вероятностью р 3. Найдите вероятность того, что: а) все стрелки попадут, б) все стрелки промахнутся, в) только один стрелок попадет, г) хотя бы один стрелок попадет. (См. исходные данные в таблице).
| № варианта | ||||||||||
| р 1 | 0,6 | 0,8 | 0,6 | 0,7 | 0,5 | 0,7 | 0,9 | 0,8 | 0,3 | 0,5 |
| р 2 | 0,7 | 0,6 | 0,9 | 0,8 | 0,9 | 0,8 | 0,9 | 0,6 | 0,8 | 0,4 |
| р 3 | 0,7 | 0,5 | 0,7 | 0,5 | 0,6 | 0,4 | 0,7 | 0,8 | 0,7 | 0,8 |
| № варианта | ||||||||||
| р 1 | 0,6 | 0,3 | 0,8 | 0,7 | 0,9 | 0,3 | 0,6 | 0,8 | 0,5 | 0,6 |
| р 2 | 0,4 | 0,6 | 0,8 | 0,2 | 0,5 | 0,8 | 0,9 | 0,7 | 0,8 | 0,4 |
| р 3 | 0,8 | 0,9 | 0,7 | 0,8 | 0,6 | 0,9 | 0,8 | 0,9 | 0,9 | 0,9 |
Задача № 2.
Решите следующие задачи, используя формулу полной вероятности или формулу Байеса.
1. Имеется три урны. В первой 2белых шаров и 8 черных, во второй 5белых и 5черных, в третьей только белые шары. Из произвольной урны наудачу достали один шар, который оказался белым. Найдите вероятность, что этот шар достали из второй урны.
2. Имеются две урны: в первой 3 белых и 4 черных шара, во второй 2 белых и 3 черных. Из первой урны во вторую перекладывают два шара, шары перемешивают. После этого из первой урны берут один шар. Найдите вероятность, что он белый.
3. По объекту производится три одиночных выстрела. Вероятность попадания при каждом выстреле соответственно 0,4; 0,5; 0,7. Для вывода объекта из строя достаточно трех попаданий, при двух попаданиях он выходит из строя с вероятностью 0,6, при одном - с вероятностью 0,2. Найдите вероят-
ность того, что в результате трех выстрелов объект будет выведен из строя.
4. У рыбака имеются три места лова, которые он посещает с равной вероятностью. На первом месте рыба клюет с вероятностью 0,6; на втором - 0,7; на третьем - 0,5. Известно, что рыбак три раза закидывал удочку. Найдите вероятность того, что рыба клюнула только один раз.
5. В ящике лежат 20 теннисных мячей, 15 новых и 5 старых. Для игры наудачу выбираю 2 мяча и после игры возвращают обратно. Затем для второй игры также наудачу берут еще два мяча. Найдите вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами.
6. Два охотника одновременно стреляют в цель. Известно, что вероятность попадания у первого охотника равна 0,2; у второго - 0,6. В результате залпа оказалось одно попадание. Какова вероятность, что попал первый стрелок?
7. В программе экзамена 5 простых и 10 сложных вопросов. У первого или у второго студента больше шансов достать билет с простым вопросом?
8. В группе из 20 стрелков имеются 5 отличных, 9 хороших и 6 посредственных стрелков. При одном выстреле отличный стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,9, хороший - с вероятностью 0,8, и посредственный - с вероятностью 0,7. Наугад выбранный стрелок выстрелил в мишень и попал. Какова вероятность, что это был отличный стрелок?
9. В первой урне 5 белых и 3 черных шара, во второй - 4 белых и 7 черных шаров. Из первой во вторую перекладывают три шара, а затем из второй извлекают один шар. Определите вероятность, что он белый.
10. Рабочий обслуживает три разных станка, производя при этом одинаковые детали. Известно, что производительность первого станка в три раза больше, чем второго, а третьего - в два раза меньше, чем второго. Вероятность брака для первого станка равна 0,03; для второго - 0,01; для третьего - 0,04. Определите вероятность того, что наудачу взятая деталь - бракованная.
11. Экспедиция пройдет перевал в горах при хорошей погоде с вероятностью 0,9; при ветреной погоде - с вероятностью 0,7; и с вероятностью 0,3 при буране. После выхода на маршрут радист получил сведения, что с вероятностью 0,2 погода будет хорошей, с вероятностью 0,5 погода будет ветреной, и с вероятностью 0,3 случится буран. Какова вероятность того, что перевал будет пройден?
12. Имеется две урны. В первой 5белых шаров и 4 черных, во второй 6белых и 2черных. Из первой урны во вторую перекладывают один шар. После этого из второй урны берут один шар. Найдите вероятность, что этот шар белый.
13. В альбоме 5 чистых и 7 гашеных марок. Из них наудачу извлекают 3 марки, подвергают спецгашению и возвращают обратно. После этого вновь извлекают одну марку. Определите вероятность того, что марка чистая?
14. В каждой из трех урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую. После этого из второй урны извлечен один шар и переложен в третью урну. Найдите вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третьей урны, окажется белым.
15. По самолету производится три последовательных выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,3; при втором - 0,5; при третьем - 0,7. Для вывода самолета из строя с вероятностью 0,3 достаточно одного попадания, с вероятностью 0,5 достаточно двух попаданий. Попадание трех снарядов заведомо достаточно для вывода самолета из строя. Найдите вероятность того, что в результате трех выстрелов самолет будет сбит.
16. В жеребьевке участвует 10 команд. Номер 7 спортсмены считают счастливым. Команда из Перьми тянет жребий первой, а команда мз Воронежа – третьей. У кого из них больше шансов вытянуть счастливый номер?
17. Человек, заблудившись в лесу, вышел на поляну, откуда вело три дороги. Вероятность выхода из леса в течение часа по этим дорогам равна соответственно 0,3; 0,1; 0,4. Чему равна вероятность, что заблудившийся выбрал первую дорогу, если известно, что он вышел из леса в течение часа?
18. На склад поступает продукция трех фабрик. Причем продукция первой фабрики составляет 20%, второй - 46%, третьей - 34%. Известно, что процент брака на первой, второй и третьей фабриках 0,02; 0,04; 0,08 соответственно. Найдите вероятность того, что выбранное изделие произведено на первой фабрике, если при испытании оно оказалось бракованным.
19. В коробке находилось 10 деталей, две из которых бракованные. Одну деталь потеряли, после чего достали одну деталь. Найдите вероятность того, что она бракованная.
20. В урне лежит шар неизвестного цвета - с равной вероятностью белый или черный. В урну опускают один белый шар и после перемешивания наудачу извлекают один шар. Он оказался белым. Найдите вероятность того, что в урне остался белый шар.
Задача № 3.
Саженцы смородины приживаются с вероятностью p. На приусадебном участке высадили n саженцев. Найдите вероятности того, что приживутся: а) ровно k саженцев, б) не менее k саженцев, в) не более k саженцев, г) хотя бы один саженец. (См. исходные данные в таблице.)
| № варианта | ||||||||||
| n | ||||||||||
| k | ||||||||||
| р | 0,7 | 0,8 | 0,9 | 0,8 | 0,6 | 0,9 | 0,7 | 0,9 | 0,7 | 0,7 |
| № варианта | ||||||||||
| n | ||||||||||
| k | ||||||||||
| р | 0,9 | 0,8 | 0,8 | 0,7 | 0,8 | 0,7 | 0,6 | 0,7 | 0,9 | 0,9 |
Задача № 4.
Производится испытание n приборов на надежность. Вероятность выдержать испытание для каждого прибора равна p. Случайная величина Х для вариантов 1-10 – число приборов, выдержавших испытание, для вариантов 11-20 – число приборов, не выдержавших испытание. Постройте ряд распределения случайной величины Х. Найдите математическое ожидание M [ X ] и дисперсию D [ X ]. (См. исходные данные в таблице.)
| № варианта | ||||||||||
| n | ||||||||||
| р | 0,7 | 0,8 | 0,9 | 0,8 | 0,6 | 0,9 | 0,7 | 0,9 | 0,8 | 0,7 |
| № варианта | ||||||||||
| n | ||||||||||
| р | 0,6 | 0,8 | 0,6 | 0,6 | 0,4 | 0,5 | 0,3 | 0,7 | 0,9 | 0,4 |
Задача № 5.
Дана плотность распределения f (x) случайной величины Х. Найдите параметр а, функцию распределения случайной величины, математическое ожидание М [ Х ], дисперсию D [ Х ], вероятность выполнения неравенства 
, построить график функции распределения F (x).
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
Задача № 6.
Варианты 1–10. Найдите вероятность попадания в заданный интервал (a, b) нормально распределенной случайной величины, если известны ее математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение s.
Варианты 11–20. Ошибки измерения распределены нормально с математическим ожиданием равным нулю и средним квадратическим отклонением s. Найти вероятность того, что ошибка измерений не превзойдет по модулю 
. (См. исходные данные в таблице.)
| № варианта | ||||||||||
| a | –3 | -1 | ||||||||
| ||||||||||
| –4 | –1 | –3 | |||||||
|
| № варианта | ||||||||||
|
| ||||||||||
|
| 0,5 | 0,5 |
Задача № 7.
Варианты 1–10. Построить полигон частот по данному распределению выборки
| 1. | x i | ||||||||
| n i |
| 2. | x i | ||||||||
| n i |
| 3. | x i | ||||||||
| n i |
| 4. | x i | ||||||||
| n i |
| 5. | x i | ||||||||
| n i |
| 6. | x i | ||||||||
| n i |
| 7. | x i | ||||||||
| n i |
| 8. | x i | ||||||||
| n i |
| 9. | x i | ||||||||
| n i |
| 10. | x i | ||||||||
| n i |
Варианты 11–20. Построить гистограмму частот по данному распределению выборки
| 11. | x i | [2, 5) | [5, 8) | [8, 11) | [11, 14) | [14,17) | [17,20) |
| n i |
| 12. | x i | [2, 4) | [4, 6) | [6, 8) | 8, 10) | [10,12) | [12,14) |
| n i |
| 13. | x i | [1, 2) | [2, 3) | [3, 4) | [4, 5) | [5,6) | [6,7) |
| n i |
| 14. | x i | [1, 3) | [3, 5) | [5, 7) | [7, 9) | [9,11) | [11,13) |
| n i |
| 15. | x i | [1, 4) | [4, 8) | [8, 12) | [12, 16) | [16,20) | [20,24) |
| n i |
| 16. | x i | [1, 5) | [5, 10) | [10, 15) | [15, 20) | [20,25) | [25,30) |
| n i |
| 17. | x i | [2, 3) | [3, 4) | [4, 5) | [5, 6) | [6, 7) | [7, 8) |
| n i |
| 18. | x i | [2, 6) | [6, 10) | [10, 14) | [14, 18) | [18,22) | [22,26) |
| n i |
| 19. | x i | [3, 4) | [4, 5) | [5, 6) | [6, 7) | [7, 8) | [8,9) |
| n i |
| 20. | x i | [3, 5) | [5, 7) | [7, 9) | [9, 11) | [11,13) | [13,15) |
| n i |
Задача № 8.
Определить доверительный интервал для оценки с надежностью 
неизвестного математического ожидания а нормально распределенного признака Х генеральной совокупности, если известно выборочное среднее 
, объем выборки n и генеральное среднее квадратическое отклонение .
| № варианта | |||||||
| 0,9 | 0,95 | 0,99 | 0,98 | 0,96 | 0,94 | 0,97 |
| –2 | ||||||
|
| |||||||
| n |
| № варианта | |||||||
|
| 0,9 | 0,95 | 0,99 | 0,98 | 0,96 | 0,94 | 0,97 |
|
| –1 | ||||||
|
| |||||||
| n |
| № варианта | ||||||
|
| 0,9 | 0,95 | 0,99 | 0,98 | 0,96 | 0,97 |
|
| –5 | |||||
|
| ||||||
| n |