Тема: Первообразная. Правила нахождения первообразной.
Дата: 22.10.2021 г.
Группа: П-261
Студенты должны знать: понятие «первообразной», «интегрирования», правила нахождения первообразной, формулы.
Студенты должны уметь: решать задачи на вычисление первообразной, применение правил нахождения первообразной, использовать табличные значения.
Актуализация опорных знаний
Карточки с заданиями
| № 1 1) Найти интервалы возрастания и убывания функции у = 6х – 2х3. 2) Найдите значение производной функции f(x)=3x2+4x–1 в точке x=3. | № 2
1) Найти точки экстремума функции
 .
2) Найдите значение производной функции f(x)=5x2+5x– 5 в точке x=1.
|
Решение
Карточка № 1
1) Найти интервалы возрастания и убывания функции у = 6х – 2х3.
1. Найдем стационарные точки, для этого найдем производную данной функции, затем приравняем её к нулю и решим полученное уравнение, корнями которого и будут являться стационарные точки.
; Пусть 
, тогда 
, следовательно 
; х1 и х2 стационарные точки;
2. Стационарные точки разбивают координатную прямую на три интервала. В тех интервалах, где производная функции положительна сама функция возрастает, где отрицательна – убывает.
- + -
у -1 1
Следовательно у убывает при х 
(- 
;-1) 
(1; 
) и возрастает при х (-1;1).
2) f(x)=3x2+4x–1; 
; 
.
Карточка № 2
1) Найти точки экстремума функции .
1. Найдем стационарные точки, для этого найдем производную данной функции, затем приравняем её к нулю и решим полученное уравнение, корнями которого и будут являться стационарные точки.
; Пусть , тогда 
, следовательно, 
, и 
.
2. Стационарные точки разбивают координатную прямую на четыре интервала. Те точки, при переходе через которые производная функции меняет знак, являются точками экстремума.
+ - - +
у -3 0 3
Значит - точки экстремума, причем 
- точка максимума, а 
- точка минимума.
2) f(x)=5x2+5x– 5; 
; 
.
Итак, давайте ответим на несколько вопросов.
1.Вспомним, какая функция называется первообразной?
Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на некотором промежутке, если для всех x из этого промежутка 
.
2.А как называется процесс нахождения производной функции?
Дифференцированием.
3. Каким образом показать, что функция F(x) является первообразной для функции f(x)?
Найти производную функции F(x).
4.Является ли функция F(x)=3x2+11x первообразной для функции f(x)=6х+10? (слайд 5)
Нет, т.к. производная функции F(x)=3x2+11x равна 6х+11, а не 6х+10.
5. Какое количество первообразных можно найти для некоторой функции f(x)? Ответ обоснуйте.
Бесконечно много, т.к. к полученной функции мы всегда прибавляем константу, которая может быть любым вещественным числом.
Изучение нового материала
Обратную операцию нахождения первообразной для данной функции называют интегрированием (от латинского слова integrare – восстанавливать). Таблицу первообразных для некоторых функций можно составить, используя таблицу производных. Например, зная, что 
, получаем 
, откуда следует, что все первообразные функции 
записываются в виде 
, где C – произвольная постоянная.
Запись в тетрадях
,
получаем 
,
откуда следует, что все первообразные функции записываются в виде , где C – произвольная постоянная.
Откройте учебники на странице 290. Здесь приведена таблица первообразных.
Правила интегрирования можно получить с помощью правил дифференцирования. Рассмотрим следующие правила интегрирования: пусть F(x) и G(x) – первообразные соответственно функций f(x) и g(x) на некотором промежутке. Тогда:
1) Функция 
является первообразной функции 
;
2) Функция 
является первообразной функции 
. (слайд 8)
Запись в тетрадях
1) Функция является первообразной функции ;
2) Функция является первообразной функции .
Закрепление изученного материала
Переходим к практической части урока. Найти одну из первообразных функции 
Решаем у доски.
Чтобы найти первообразную данной функции нужно использовать правило интегрирования: функция является первообразной функции .
Что еще необходимо знать для нахождения первообразной данной функции?
Также будем использовать таблицу первообразных для функций 
, при p =2 и для 
Находим одну из первообразных данной функции: 
Запись в тетрадях
Аналогично решаются № 988 (1, 3, 5), № 989 (1, 3, 5, 7), № 990 (1, 3, 5).
Следующая задача звучит так: найти все первообразные функции 
По таблице первообразных находим, что одной из первообразных функции 
является функция 
.
Как найдем производную второй функции?
Также по таблице первообразных находим, что одной из первообразных функции 
является функция 
. По правилам интегрирования одна из первообразных данной функции 
.
Это мы нашли одну из первообразных функции, а по условию задачи нужно найти все первообразные.
Необходимо к найденной первообразной прибавить константу, т. е. 
- все первообразные функции
Запись в тетрадях
,
,
- все первообразные функции
Аналогично решается № 991 (1, 3, 5, 7).
5. Подведение итогов.
Что нового вы узнали на сегодняшнем уроке?
На сегодняшнем уроке мы изучили таблицу первообразных и правила интегрирования.
А какие правила интегрирования вы знаете?
Пусть F(x) и G(x) – первообразные соответственно функций f(x) и g(x) на некотором промежутке. Тогда:
1) Функция 
является первообразной функции 
;
2) Функция 
является первообразной функции 
.
Домашнее задание
§55, № 988 (2, 4, 6), № 989 (2, 4, 6, 8), № 990 (2, 4, 6), № 991 (2, 4, 6, 8)
Критерии оценивания:
1. Оценка «отлично» - выставляется обучающемуся, если правильно решены все задания, выполнены в полной мере, изложены логично.
2. Оценка «хорошо» - выставляется обучающемуся, если допущены незначительные погрешности в задании.
3. Оценка «удовлетворительно» - выставляется обучающемуся, если ответ на вопрос нелогичный, не полный.
4. Оценка «неудовлетворительно» - выставляется обучающемуся, если задания не решены.
ВНИМАНИЕ!!!
Уважаемые студенты, практическое задание необходимо выполнить в рабочей тетради (сфотографировать) или в формате Документа Word. Отправлять для проверки в личные сообщения на страницу ВКонтакте: https://vk.com/kolomiyetssg?z=photo95751036_324720501%2Falbum95751036_0%2Frev
Преподаватель: Коломиец Светлана Григорьевна