ЗАКОНЫ ИЗМЕНЕНИЯ И СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА

Закон изменения импульса для одной материальной точки.

Второй закон Ньютона для материальной точки, когда на нее действует постоянная сила, может быть переписан в виде закона изменения импульса

- приращение импульса материальной точки равно импульсу силы (произведению силы на время, за которое импульс точки изменился на ), действующей на материальную точку.

3.1. Величина импульса материальной точки равна 100 кг∙м/с. Под действием постоянной силы направление вектора импульса изменяется на противоположное за две секунды. Вычислите величину силы.

3.2. Величина импульса материальной точки равна 100 кг∙м/с. Под действием постоянной силы за время 1,4 секунды вектор импульса повернулся на 90⁰. Вычислите величину силы.

Система материальных точек.

Импульс системы материальных точек – это сумма (конечно векторная) импульсов материальных точек:

Производная импульса системы материальных точек по времени равна сумме всех сил, действующих на систему, и, с учетом третьего закона Ньютона, равна сумме внешних сил, действующих на систему материальных точек:

3.3. В лабораторной системе отсчета модули импульсов двух материальных точек равны 3 кг∙м/с и 4 кг∙м/с. Направления импульсов составляют прямой угол. Вычислите модуль импульса системы этих материальных точек в лабораторной системе отсчета.

3.4. Система состоит из двух тел. Известны зависимости от времени импульсов этих тел и . Сохраняется ли импульс системы?

3.5. Система состоит из двух тел. Известны зависимости от времени импульсов этих тел и . Сохраняются ли какие - либо проекции импульса системы на оси координат?

3.6. Система состоит из двух тел. Известны зависимости от времени импульсов этих тел и . Найдите сумму внешних сил, приложенных к телам, и вычислите ее величину для t = 1/6 с.

Сохранение импульса системы взаимодействующих тел.

Из закона изменения импульса следует, что если , то .

Для проекций на выделенное направление X можно утверждать, что из следует , если .

3.7. Платформа движется по горизонтальным рельсам в положительном направлении координатной оси X со скоростью 1м/с. Человек, масса которого равна массе платформы, находится на платформе и сначала покоится относительно нее. Затем человек разгоняется и покидает платформу со скоростью 2м/с относительно платформы в положительном направлении координатной оси X. Вычислите скорость пустой платформы.

3.8. Платформа движется по горизонтальным рельсам в положительном направлении координатной оси X со скоростью 1м/с. Человек, масса которого равна массе платформы, находится на платформе и сначала покоится относительно нее. Затем человек разгоняется и покидает платформу со скоростью 2м/с относительно платформы в отрицательном направлении координатной оси X. Вычислите скорость пустой платформы.

3.9. Платформа движется по горизонтальным рельсам в положительном направлении координатной оси X со скоростью 1м/с. Человек, масса которого равна массе платформы, находится на платформе и сначала покоится относительно нее. Затем человек разгоняется и покидает платформу с горизонтальной скоростью 2м/с относительно платформы в направлении перпендикулярном координатной оси X. Вычислите скорость пустой платформы.

3.10. Тележка с песком движется по горизонтальным прямолинейным рельсам со скоростью 10 м/с. В дне тележки образовалась дыра, песок стал высыпаться, и через некоторое время масса тележки с песком уменьшилась в два раза. Вычислите скорость тележки для этого момента времени. Трением о рельсы и сопротивлением воздуха пренебречь.

3.11. Пустая тележка движется по горизонтальным прямолинейным рельсам со скоростью 10 м/с. По ходу движения тележки, над рельсами на достаточной высоте закреплен бункер с песком. В момент прохождения тележки под бункером из него в тележку высыпался песок, масса которого равна массе пустой тележки. Вычислите конечную скорость тележки. Трением о рельсы и сопротивлением воздуха пренебречь.

3.12. На покоившейся тележке массы M стояли два человека одинаковой массы m. Затем они покинули тележку, разогнавшись вдоль рельсов до скорости относительно тележки, один раз одновременно, другой раз последовательно друг за другом. В каком случае скорость тележки будет больше и во сколько раз?

Уравнение движения тела с изменяющееся массой – уравнение Мещерского.

m – масса, - ускорение тела в рассматриваемый момент времени, - сумма всех внешних сил, - реактивная сила.

3.13. Допустим, что каждую секунду из ракеты вылетает 100 кг отработанного топлива со скоростью 500 м/с (относительно ракеты). Вычислите величину силы, действующей на ракету со стороны вылетающего топлива.

3.14. Допустим, что скорость, с которой вылетает из ракеты топливо (в системе отсчета «ракета»), равна 500 м/с. Ракета стартует с нулевой начальной скоростью в отсутствие внешних сил. Вычислите величину скорости ракеты в момент, когда масса ракеты уменьшится приблизительно в 2,7 раза по сравнению со стартовой.

3.15. Стартовая масса двухступенчатой ракеты равна M = 25,5т. Масса корпуса первой ступени равна m₀₁ = 2т, масса топлива в ней m₁ = 20т. После сжигания 20т топлива первая ступень отбрасывается и включается вторая ступень. Скорость истечения топлива в системе отсчета “ракета” равна u = 1км/с. Найдите скорость v₁ ракеты в момент отделения первой ступени.

3.16. Стартовая масса двухступенчатой ракеты равна M = 25,5т. Масса корпуса первой ступени равна m₀₁ = 2т, масса топлива в ней m₁ = 20т. Масса корпуса второй ступени равна m₀₂ = 0,5т, масса топлива в ней m₂ = 3т. После сжигания 20т топлива первая ступень отбрасывается и включается вторая ступень. Скорость истечения топлива в системе отсчета “ракета” равна u = 1км/с. Найдите скорость v₂ ракеты после использования всего топлива.

3.17. Стартовая масса одноступенчатой ракеты равна M = 25,5т. Масса корпуса равна m₀ = 2,5т, масса топлива m = 23т. Скорость истечения топлива в системе отсчета “ракета” равна u = 1км/с. Найдите скорость v ракеты после использования всего топлива. Результат вычислений сравните с ответом в предыдущей задаче.

Центр масс. Система отсчета центра масс.

Центром масс системы материальных точек называется точка пространства, радиус-вектор которой находится по формуле

Соответственно скорость центра масс равна

Системой отсчета центра масс (Ц-системой) называется такая система отсчета, относительно которой покоится центр масс рассматриваемой системы частиц и, которая движется поступательно относительно инерциальной системы отсчета.

3.18. Две материальные точки одинаковой массы движутся со скоростями 3 м/с и 4 м/с во взаимно перпендикулярных направлениях. Вычислите модуль скорости V центра масс системы этих точек.

3.19. В лабораторной системе отсчета модули импульсов двух материальных точек равны 3 кг∙м/с и 4 кг∙м/с. Направления импульсов составляют прямой угол. Вычислите модуль импульса P системы этих материальных точек в лабораторной системе отсчета.

3.20. В лабораторной системе отсчета модули импульсов двух материальных точек одинаковы и равны 4 кг∙м/с. Векторы импульсов сонаправлены и лежат на прямой, проходящей через обе материальные точки. Вычислите модуль импульса системы этих материальных точек в системе отсчета центра масс.

3.21. В лабораторной системе отсчета модули импульсов двух материальных точек одинаковы и равны 2кг∙м/с. Векторы импульсов противонаправлены и лежат на прямой, проходящей через обе материальные точки. Вычислите модуль импульса системы этих материальных точек в системе отсчета центра масс.

3.22. В лабораторной системе отсчета модули импульсов двух материальных точек равны 2кг∙м/с и 5кг∙м/с соответственно. Векторы импульсов противонаправлены и лежат на прямой, проходящей через обе материальные точки. Вычислите модуль импульса системы этих материальных точек в системе отсчета центра масс.

3.23. В лабораторной системе отсчета модули импульсов двух материальных точек равны 3 кг∙м/с и 4 кг∙м/с. Направления импульсов составляют прямой угол. Вычислите модуль импульса системы этих материальных точек в системе отсчета центра масс.

Использование Ц-системы отсчета для представления движения системы материальных точек в виде суммы движения системы точек как целого и внутреннего движения.

3.24. Две небольшие одинаковые шайбы массой m каждая, связаны нерастяжимой нитью длины l и движутся по гладкой горизонтальной плоскости. В некоторый момент времени скорости шайб перпендикулярны нити, сонаправлены и равны соответственно v и 3 v. Найдите величину F силы натяжения нити.

3.25. Две небольшие одинаковые шайбы массой m каждая, связаны нерастяжимой нитью длины l и движутся по гладкой горизонтальной плоскости. В некоторый момент времени скорости шайб перпендикулярны нити, противонаправлены и равны соответственно v и 3 v. Найдите величину F силы натяжения нити.

3.26. Две небольшие одинаковые шайбы массой m каждая, связаны нерастяжимой нитью длины l и движутся по гладкой горизонтальной плоскости. В некоторый момент времени скорости шайб перпендикулярны нити, сонаправлены и равны соответственно 3 v и 5 v. Найдите величину F силы натяжения нити.

3.27. Две небольшие одинаковые шайбы массой m каждая, связаны нерастяжимой нитью длины l и движутся по гладкой горизонтальной плоскости. В некоторый момент времени скорости шайб перпендикулярны нити, противонаправлены и равны соответственно 3 v и 5 v. Найдите величину F силы натяжения нити.

3.28. Две небольшие одинаковые шайбы массой m каждая, связаны нерастяжимой нитью длины l и движутся по гладкой горизонтальной плоскости. В некоторый момент времени скорости шайб перпендикулярны нити, сонаправлены и равны соответственно 2 v и 4 v. Найдите величину F силы натяжения нити.

3.29. Две небольшие одинаковые шайбы массой m каждая, связаны нерастяжимой нитью длины l и движутся по гладкой горизонтальной плоскости. В некоторый момент времени скорости шайб перпендикулярны нити, противонаправлены и равны соответственно 2 v и 4 v. Найдите величину F силы натяжения нити.

3.30. Две небольшие одинаковые шайбы массой m каждая, связаны нерастяжимой нитью длины l и движутся по гладкой горизонтальной плоскости. В некоторый момент времени скорости шайб перпендикулярны нити, сонаправлены и равны соответственно 4 v и 6 v. Найдите величину F силы натяжения нити.

3.31. Две небольшие одинаковые шайбы массой m каждая, связаны нерастяжимой нитью длины l и движутся по гладкой горизонтальной плоскости. В некоторый момент времени скорости шайб перпендикулярны нити, противонаправлены и равны соответственно 4 v и 6 v. Найдите величину F силы натяжения нити.

3.32. Две небольшие одинаковые шайбы массой m каждая, связаны нерастяжимой нитью длины l и движутся по гладкой горизонтальной плоскости. В некоторый момент времени скорости шайб перпендикулярны нити, сонаправлены и равны соответственно v/ 2 и 5 v/ 2. Найдите величину F силы натяжения нити.

3.33. Две небольшие одинаковые шайбы массой m каждая, связаны нерастяжимой нитью длины l и движутся по гладкой горизонтальной плоскости. В некоторый момент времени скорости шайб перпендикулярны нити, противонаправлены и равны соответственно v/ 2 и 5 v/ 2. Найдите величину F силы натяжения нити.

Ответы

3.1 Н.