Преобразование модели в систему конечноразностных уравнений.

Вариант задания

В качестве объекта рассматривается квадратная пластина со стороной равной 1. Полагается, что процесс температуропроводности описывается однородным уравнением с коэффициентом a =1:

u'_t - (u"_xx + u"_yy) = 0.

Начальная температура пластины: u (x, y,0) = 0, т.е. температура внутри тела (за исключением границы) везде равна 0. Длина каждой заданной на границе изоляции – 0,5.

Граничные условия:

· Участок A: .

· Участок B: теплоизоляция.

· Участок C: .

· Участок D: .

· Участок E: теплоизоляция.

Участок F: .

Формальная модель процесса температуропроводности.

Пусть в качестве предмета моделирования рассматривается процесс изменения температуры в точках тонкой однородной пластины G (температуропроводность). Если температура в точках пластины не одинаковая, то возникают тепловые потоки внутри пластины от мест с более высокой температурой к местам с более низкой температурой. Кроме того, температурные потоки могут возникать между телом G и окружающей средой по границе тела G. Материал пластины определяет свойство температуропроводности.

Проанализируем параметры, характеризующие предмет моделирования. Полагаем, что для идентификации точек тела используется декартовая система координат на плоскости, в которой точка идентифицируется парой (x, y). Выделим следующие параметры:

x – координата точки пластины по оси абсцисс;

y – координата точки пластины по оси ординат;

t – параметр времени;

G – множество всех точек пластины, (x,y)Î G;

Γ – множество точек, лежащих на границе пластины, (x,y)ÎΓ;

a> 0 - параметр, характеризующий физические свойства теплопроводности материала пластины (коэффициент температуропроводности);

f (x,y,t)– температура окружающей среды на границе с пластиной (характеристика внешнего источника/приёмника тепла).

u (x,y,t)- температура пластины в точке (x,y) в момент времени t;

- распределение температуры во внутренних точках пластины в начальный момент времени, t =0.

- статическая температура в точках на границе пластины (если существует статическое состояние пластины).

Преобразование модели в систему конечноразностных уравнений.

Если f (x,y,t) = 0 (источники тепла отсутствуют), то уравнение температуропроводности параболического типа преобразуется к виду дифференциального уравнения, называемого однородным:

u'_t - a (u"_xx + u"_yy) = 0.

После того, как записано уравнение температуропроводности в том или ином виде, и заданы необходимые начальные и граничные условия, формирование модели завершается. Следующим шагом является получение результатов исследования на модели. В данном случае результатом исследования будет решение дифференциального уравнения в частных производных полученного типа (ДУЧП) с заданными начальными и граничными условиями, а именно нахождение функции u* (x, y, t), которая удовлетворяет заданным граничным и начальным условиями превращает дифференциальное уравнение в тождество.

Обычно для практически ориентированных моделей в виде ДУЧП не возможно получить решение в аналитическом виде из-за «неудобных» функций, используемых в начальных и граничных условиях. Поэтому широкое практическое применение получили различные численные методы решения таких моделей. Основная идея численных методов заключается в нахождении не аналитического вида функции u* (x, y, t), а её матричного представления на дискретном множестве точек - u* (x_i,y_j,t_k). Один из методов – метод конечной разности. После дискретизации и алгебраизации получаем рекуррентное соотношение Применяя его в качестве шаблона к каждой внутренней точке пластины получим численный метод для решения ДУЧП.