Положим, что процесс температуропроводности внутри пластины описывается однородным дифференциальным уравнением, с коэффициентом a =1:
u't - (u"xx + u"yy) = 0.
Построим начальную матрицу температур тела 
для n =10, используя ранее полученные уравнения граничных и начальных условий. "Внутренние" элементы матрицы отражают начальное условие и будут равны 0. Первая строка матрицы будет соответствовать температуре на участке C. Первый столбец матрицы (верхние элементы) будет соответствовать участку термоизоляции B. Температура на границе A соответствует температуре в ближайших внутренних точках, т.е. равна 0. Первый столбец матрицы (нижняя часть) температуре на участке A. Последняя строка матрицы будет соответствовать температуре на границе F, а последний столбец (верхняя часть) – на границе D, (нижняя часть) теплоизоляция на участке E. По формулам из варианта рассчитываются значения температур. Получается матрица вида:
| i\j | ||||||||||||
| x\y | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 | 0,6 | 0,7 | 0,8 | 0,9 | |||
| 1,26 | 1,584893 | 2,512 | 3,16228 | 5,01 | 6,31 | 7,943 | ||||||
| 0,1 | 1,259 | |||||||||||
| 0,2 | 1,585 | |||||||||||
| 0,3 | 1,995 | |||||||||||
| 0,4 | 2,512 | |||||||||||
| 0,5 | 3,162 | |||||||||||
| 0,6 | ||||||||||||
| 0,7 | ||||||||||||
| 0,8 | ||||||||||||
| 0,9 | ||||||||||||
| 1,43E-16 | 0,029 | 1,78458 | 4E-29 |
Рисунок 1 – Матрица начальных и граничных условий
Дальнейшие слои рассчитываются с учетом этих значений.
Организация решения системы конечноразностных уравнений в MS ECXEL.
По формулам из методических указаний, представленных в пункте 3 данного отчета, производятся расчеты каждого последующего слоя.
Рисунок 2 – Вычисление очередного временного слоя
Дальнейшие вычисления производятся путем копирования матрицы ниже на листе MS EXCEL. На рисунке 2 представлено применение метода конечных разностей на примере ячейки D25.
Исследование устойчивости решения системы конечноразностных уравнений.
Параметр m, определяющий пропорции между приращениями временной и пространственной координатами, существенно влияет на сходимость вычислительного процесса. При m =0. 5 вычислительный процесс начинает расходиться уже на 3-ем временном слое. Об этом говорит появление отрицательных температур. При m =0. 3 вычислительный процесс начинает расходиться на 10 временном слое. При m =0. 2 вычислительный процесс остаётся устойчивым на 26-ом временном слое (п.7). Поэтому на практике приемлемое значение параметра m подбирается опытным путём. Выберем m =0. 2.
Выбранный по осям декартовой системы координат шаг дискретизации естественно оказывает влияние и на практическую значимость (погрешность) результатов вычислений.
Результаты вычислений в матричной и графической форме.
| t= | 0,0500 | |||||||||||
| i\j | ||||||||||||
| x\y | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 | 0,6 | 0,7 | 0,8 | 0,9 | |||
| 1,26 | 1,584893 | 2,512 | 3,16228 | 5,01 | 6,31 | 7,943 | ||||||
| 0,1 | 0,77 | 1,243588 | 1,64 | 2,055 | 2,54479 | 3,1 | 3,74 | 4,22 | 4,01 | 1,259 | ||
| 0,2 | 0,62 | 1,034265 | 1,33 | 1,614 | 1,93683 | 2,3 | 2,68 | 2,89 | 2,651 | 1,585 | ||
| 0,3 | 0,72 | 1,046906 | 1,19 | 1,294 | 1,45221 | 1,7 | 1,93 | 2,13 | 2,177 | 1,995 | ||
| 0,4 | 1,28 | 1,390293 | 1,25 | 1,142 | 1,12942 | 1,2 | 1,41 | 1,66 | 2,008 | 2,512 | ||
| 0,5 | 3,11 | 2,139685 | 1,52 | 1,133 | 0,94729 | 0,9 | 1,02 | 1,26 | 1,759 | 3,162 | ||
| 0,6 | 4,11 | 2,712472 | 1,76 | 1,174 | 0,85243 | 0,7 | 0,69 | 0,73 | 0,681 | |||
| 0,7 | 4,72 | 2,999366 | 1,86 | 1,175 | 0,80117 | 0,6 | 0,47 | 0,41 | 0,296 | |||
| 0,8 | 4,86 | 2,846718 | 1,68 | 1,061 | 0,78321 | 0,5 | 0,33 | 0,23 | 0,139 | |||
| 0,9 | 3,95 | 1,953247 | 1,08 | 0,751 | 0,91056 | 0,4 | 0,2 | 0,11 | 0,059 | |||
| 1,43E-16 | 0,029 | 1,78458 | 4E-29 |
