Иррациональные уравнения и способы их решения

Утверждение: Если на промежутке две функции имеют различные монотонности, то графики этих функций на данном промежутке имеют не более одной общей точки.

Т.о. уравнение , где и – функции разной монотонности, имеет не более одного корня.

Замечания:

1) Функция , где a – действительное число, является постоянной.

2) Функция , где , является возрастающей для любого действительного значения аргумента.

Функция , где , является убывающей для любого действительного значения аргумента.

3) Функция является возрастающей для любого действительного значения аргумента из области определения.

4) Функция , где , является возрастающей для любого действительного значения аргумента из области определения.

Функция , где , является убывающей для любого действительного значения аргумента из области определения.

5) Функция , где , является возрастающей для любого действительного значения аргумента из области определения.

Функция , где , является убывающей для любого действительного значения аргумента из области определения.

6) Функция , где , является возрастающей для любого действительного значения аргумента из области определения.

Функция , где , является убывающей для любого действительного значения аргумента из области определения.

Например:

1) Решите уравнение: .

Решение: – возрастающая функция значит, уравнение имеет не

– убывающая функция более одного корня x =0

Ответ: x =0.

2) Решите уравнение: .

Решение: – возрастающая функция

– возрастающая функция

– возрастающая функция значит, уравнение

– постоянная функция имеет не более од-

ного корня x =1

Ответ: x =1.

Решение уравнений:

1) Задания для классной работы (№154(1,3); №156(3); 158(1,3); №1157(2))

[1, с.60,61,322]:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. .

2) Задания для домашней работы (№158(2,4); №159(1)) [1, с.61]:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. .

III. Решение иррациональных уравнений вида :

Вид уравнения	Решение
, где k –натуральное число	или
, где k – натуральное число

Например:

1) Решите уравнение: .

Решение:

;

по теореме, обратной теореме Виета:

Ответ:

2) Решите уравнение: .

Решение: ;

;

.

Ответ: x =5.

3) Решите уравнение: .

Решение: данная система решений не имеет.

Ответ: нет решений.

Решение уравнений:

1) Задания для классной работы:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

2) Задания для домашней работы:

1. ;

2. ;

3. .

IV. Решение иррациональных уравнений вида :

1. Уравнение , где k – нат. число, равносильно

2. Уравнение , где k – нат. число, равносильно

Например:

Решите уравнение: .

Решение: либо ; ОДЗ: ;

; .

либо

не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: , .

Решение уравнений:

1) Задания для классной работы:

1. ;

2. .

2) Задания для домашней работы:

1. ;

2. .

V. Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень:

Вид уравнения	Условия	Решение
1.	, , Д.У.:	;
2.	,	;
3.	, , Д.У.:	;
4.	,	;
5.	, ,
6.	, ,
7.	, , Д.У.:
8.
9.	, , Д.У.:
10.

При решении иррациональных уравнений, приведенных выше в таблице, необходимо выполнить проверку полученных в результате решения значений неизвестного.

Например:

1) Решите уравнение: .

Решение: возведём обе части уравнения в квадрат

;

;

;

; возведём обе части полученного уравнения в квадрат

;

;

по теореме, обратной теореме Виета:

Проверка показывает, что не является корнем исходного уравнения.

Ответ:

2) Решите уравнение: .

Решение: возведём обе части уравнения в квадрат

;

;

;

по теореме, обратной теореме Виета:

Проверка показывает, что оба значения неизвестного являются корнями данного уравнения.

Ответ:

Решение уравнений:

1) Задания для классной работы (№156(1,2); №159(2); №187(1,3)) [1, с.60,69]:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. .

2) Задания для домашней работы (№156(4); №187(2,4)) [1, с.60,69]:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. .

VI. Введение вспомогательной переменной с целью понижения степени иррационального уравнения:

Решите уравнение: .

Решение:

Выполним замену: ;

;

– возрастающая функция;

– возрастающая функция;

– возрастающая функция значит, уравнение имеет не более

– убывающая функция одного корня t =4

Обратная замена: ;

;

по теореме, обратной теореме Виета:

Проверка показывает, что оба значения неизвестного являются корнями данного уравнения.

Ответ:

Решение уравнений:

1) Задания для классной работы:

1. ;

2. .

2) Задания для домашней работы:

1. ;

2. .

VII. Введение вспомогательной переменной с целью исключения иррациональности:

Решите уравнение: .

Решение:

Выполним замену: ;

;

по теореме, обратной теореме Виета:

Обратная замена:

1) ; 2) ;

; ;

. .

Проверка показывает, что оба значения неизвестного являются корнями данного уравнения.

Ответ:

Решение уравнений:

1) Задания для классной работы (№188(1,3,5)) [1, с.69]:

1. ;

2. ;

3. .

2) Задания для домашней работы (№188(2,4)) [1, с.69]:

1. ;

2. .

VIII. Графический способ решения иррациональных уравнений:

Решите уравнение: .

Решение: Построим в одной прямоугольной системе координат графики функций и . Графики пересекаются в одной точке при . Ответ: .

Решите графически уравнения:

1) Задания для классной работы (№162(1,3)) [1, с.61]:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

2) Задания для домашней работы (№162(2,4)): 1. ; 2. .