С.А. Быстров
Цифровая обработка сигналов
Методические указания по выполнению практических работ
для студентов очной формы обучения
на базе среднего (полного) общего образования,
обучающихся по направлению подготовки бакалавра
11.03.02 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи»
(профиль «Инфокоммуникационные технологии в сервисах и услугах связи»),
программа академического бакалавриата
в соответствии с требованиями ФГОС ВО 3 поколения
Екатеринбург
25.02.2016
УДК 621.931
ББК 32.88-01
Рецензент: доктор техн. наук, профессор Панченко Б.А.
Быстров С. А.
Цифровая обработка сигналов: методические указания по выполнению практических работ для студентов очной формы обучения на базе среднего (полного) общего образования, обучающихся по направлению подготовки бакалавра 11.03.02 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи» (профиль «Инфокоммуникационные технологии в сервисах и услугах связи»), программа академического бакалавриата в соответствии с требованиями ФГОС ВО 3 поколения / Быстров С. А. – Екатеринбург: УрТИСИ СибГУТИ, 2016. – 35 с.
Методические указания по выполнению практических работ по дисциплине «Цифровая обработка сигналов» предназначены для студентов очной формы обучения на базе среднего (полного) общего образования, обучающихся по направлению подготовки бакалавра 11.03.02 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи»(профиль «Инфокоммуникационные технологии в сервисах и услугах связи»), программа академического бакалавриата
Выполнение практических работ предполагает изучение методов проектирования цифровых фильтров, анализ передаточных функций. Методические указания содержат список литературы для подготовки к работе, задания для выполнения, а также список контрольных вопросов для защиты практической работы.
Рекомендовано НМС УрТИСИ СибГУТИ в качестве методических указаний по выполнению практических работ по дисциплине «Цифровая обработка сигналов» для студентов очной формы обучения на базе среднего (полного) общего образования, обучающихся по направлению подготовки бакалавра 11.03.02 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи» (профиль «Инфокоммуникационные технологии в сервисах и услугах связи»), программа академического бакалавриата, в соответствии с требованиями ФГОС ВО 3 поколения.
УДК 537,8
ББК 32.845
©Кафедра общепрофессиональных дисциплин
технических специальностей
© УрТИСИ СибГУТИ, 2016 
СОДЕРЖАНИЕ
| Пояснительная записка | |
| Практическая работа 1 | |
| Практическая работа 2 | |
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Методические указания по выполнению практических работ составлены в соответствии с утвержденной программой дисциплины «Цифровая обработка сигналов» и предназначены для студентов направления подготовки бакалавров 11.03.02 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи» (профиль «Инфокоммуникационные технологии в сервисах и услугах связи»),программа академического бакалавриата, в соответствии с требованиями ФГОС ВО 3 поколения
Проведение практических работ предусмотрено для закрепления теоретических знаний курса, получения необходимых навыков работы с компьютерными программами.
Перед выполнением практической работы студенты должны повторить материал лекций, а так же изучить теоретический материал по теме практической работы, изложенный в рекомендуемой учебной литературе по курсу, а также в приложении к работе.
Так, содержание практических работ предполагает исследование методов проектирования цифровых фильтров и анализ фильтров по передаточной функции. Студентам необходимо в процессе самостоятельной домашней работы составить отчет и ответить на контрольные вопросы. Защита практических работ может проводиться как в индивидуальной устной форме, так и в форме тестирования.
Вопросы для защиты представлены в содержании каждой практической работы. По результатам защиты практической работы выставляется зачет.
На проведение практических работ программой отводится 12 часов.
Количество часов на выполнение каждой работы, а также её тема, указаны в таблице 1.
Таблица 1 - Перечень практических работ
| Перечень практических работ | Кол-во Часов |
| Изучение методов проектирования рекурсивных цифровых фильтров | |
| Анализ линейной системы по передаточной функции H(z) | |
| Итого: |
Практическая работа 1
Изучение методов проектирования рекурсивных цифровых фильтров
1 Цель работы:
1.1 Изучить различные методы проектирования рекурсивных цифровых фильтров.
2 Литература:
2.1 Оппенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов. Издание 3-е, исправленное. — Москва: Техносфера 2012 г.— 1048 с.
2.2 Умняшкин С. В. Теоретические основы цифровой обработки и представления сигналов: Учебное пособие. — Москва: Техносфера 2012 г.— 368 с. — Электронное издание.
3 Основное оборудование:
3.1 Персональный компьютер.
3.2 Калькулятор
4 Подготовка к работе:
Известно, что при проектировании БИХ-фильтров применяются различные методы. Одни методы относятся к классу прямых методов, а другие – к методам преобразования аналоговых фильтров в цифровые фильтры. Методы расчета зависят и от назначения фильтров, и от того, какую характеристику аппроксимируют: импульсную, частотную, групповой задержки и др., и выбранного критерия приближения (среднеквадратического или минимаксного). Таким образом, задача проектирования в основной своей сущности сводится к задаче аппроксимации. Если аппроксимация производится в z-плоскости, то получаем цифровой фильтр, а если в р-плоскости, то получаем аналоговый фильтр.
Сходство передаточных функций цифровых и аналоговых фильтров приводит к поиску методов перехода из р-области в z-область, предварительно произведя расчет фильтра в p-области. Конечно, полученный после перехода БИХ-фильтр не может быть полностью идентичен аналоговому по своим характеристикам, хотя бы потому, что частотные характеристики дискретного фильтра являются периодическими. Можно говорить только об определенном соответствии характеристик аналогового и дискретного фильтров. Реализация такого подхода требует разработки простых алгоритмов, которые обеспечивают переход от расчета аналоговых фильтров к расчету цифровых.
Расчет цифровых БИХ-фильтров по аналоговому прототипу для метода численного интегрирования и метода инвариантности импульсной характеристики состоит из следующих этапов:
- Рассчитывают нормированный аналоговый фильтр нижних частот, получают подходящую передаточную функцию 
аналогового фильтра нижних частот, которая удовлетворяет требованиям обработки сигнала
- Аналоговый фильтр нижних частот с помощью аналогового частотного преобразования (с помощью преобразующих функций) преобразуют в соответствующий аналоговый фильтр
- Применяют одну из процедур (метод численного интегрирования, метод инвариантности импульсной характеристики) для перевода рассчитанного соответствующего аналогового фильтра в цифровой фильтр, удовлетворяющий заданным требованиям.
Согласно этапам проектировки БИХ-фильтров, рассчитаем передаточную функцию аналогового фильтра нижних частот, которая удовлетворяла бы заданным требованиям.
5 Задание:
В соответствии с данными своего варианта, рассчитать рекурсивный цифровой фильтр нижних частот, удовлетворяющий заданным требованиям:
- методом численного интегрирования;
- методом инвариантности импульсной характеристики;
- методом билинейного z-преобразования.
Построить графики ослабления и АЧХ полученных фильтров. Привести схемы фильтров в канонической форме.
| Вариант | Граница полосы пропускания
| Граница полосы непропускания
| Ослабление в полосе пропускания 
| Ослабление в полосе непропускания 
|
| 0,15p | 0,75p | |||
| 0,2p | 0,8p | 2,7 | ||
| 0,1p | 0,65p | 2,8 | ||
| 0,12p | 0,6p | |||
| 0,14p | 0,55p | 2,9 | ||
| 0,11p | 0,5p | 2,8 | ||
| 0,18p | 0,65p | 2,9 | ||
| 0,19p | 0,71p | 2,9 | ||
| 0,2p | 0,65p | 2,9 | ||
| 0,22p | 0,75p | 2,8 | ||
| 0,115p | 0,7p | 2,9 | ||
| 0,125p | 0,65p | 2,8 | ||
| 0,13p | 0,75p | |||
| 0,135p | 0,65p | 2,9 | ||
| 0,145p | 0,7p | 2,8 | ||
| 0,155p | 0,725p | |||
| 0,16p | 0,73p | 2,9 | ||
| 0,165p | 0,71p | 2,8 | ||
| 0,175p | 0,74p | 2,9 | ||
| 0,185p | 0,75p | |||
| 0,195p | 0,725p | 2,8 | ||
| 0,215p | 0,775p | 2,9 | ||
| 0,213p | 0,75p | 2,8 | ||
| 0,21p | 0,76p | |||
| 0,195p | 0,73p | 2,9 | ||
| 0,215p | 0,75p | 2,8 | ||
| 0,11p | 0,6p | 2,3 | ||
| 0,12p | 0,55p | 1,9 | ||
| 0,15p | 0,45p | 2,40 | ||
| 0,13p | 0,35p | 2,5 | ||
| 0,14p | 0,52p | 2,2 | ||
| 0,16p | 0,43p | 2,7 | ||
| 0,12p | 0,4p | 2,8 | ||
| 0,14p | 0,51p | 2,4 | ||
| 0,13p | 0,64p | 2,5 | ||
| 0,15p | 0,65p | 2,3 | ||
| 0,17p | 0,72p | 2,7 | ||
| 0,19p | 0,55p | 2,1 | ||
| 0,18p | 0,6p | 2,3 | ||
| 0,2p | 0,48p | 2,5 | ||
| 0,22p | 0,67p | 2,4 | ||
| 0,25p | 0,72p | 1,9 | ||
| 0,17p | 0,65p | 1,8 | ||
| 0,12p | 0,68p | 2,3 | ||
| 0,16p | 0,55p | 2,7 | ||
| 0,18p | 0,6p | 2,6 | ||
| 0,24p | 0,8p | 2,5 | ||
| 0,19p | 0,55p | 2,4 | ||
| 0,16p | 0,6p | 2,3 | ||
| 0,14p | 0,48p | 2,2 |
6 Содержание отчета:
6.1 Наименование работы
6.2 Цель работы.
6.3 Проектирование фильтра методами Эйлера, Инвариантности и Z-преобразования.
6.4 Таблица с расчетами и соответствующие графики АЧХ и ослабления
6.5 Вывод по полученным результатам
6.4 Ответы на контрольные вопросы
7 Контрольные вопросы:
7.1 Как можно связать между собой вход и выход линейной системы?
7.2 Как осуществляется переход между передаточной функцией H(z) и АЧХ?
7.3 Какие существуют этапы проектирования рекурсивного фильтра по аналоговому прототипу?
7.4 Какой фильтр называется устойчивым и что для этого необходимо?
7.5 Какие формы представления структурных схем цифрового фильтра существуют?
ПРИЛОЖЕНИЕ
Рассмотрим порядок проектирования БИХ-фильтра на конкретном примере:
Для того, чтобы рассчитать цифровой фильтр нижних частот, удовлетворяющий следующим требованиям:
а) полоса пропускания 
по уровню 2дБ составляет 
рад/с;
б) ослабление 
в полосе непропускания для 
рад;
в) АЧХ имеет монотонно спадающий вид для 
рад;
г) интервал дискретизации 
мкс.
Необходимо произвести ряд несложных вычислений:
Для этого переведем требования на цифровой фильтр в требования на соответствующий аналоговый фильтр нижних частот:
а) частота границы полосы пропускания 
по уровню 2дБ;
рад/с;
нормированная частота границы полосы пропускания 
:
б) частота границы полосы непропускания для ослабления :
Согласно исходным данным граница полосы непропускания 
рад, тогда
рад/с;
нормированная частота границы полосы непропускания :
в) поскольку АЧХ имеет монотонно спадающий вид для рад, то выбираем аналоговый ФНЧ с характеристикой Баттерворта.
Определяем порядок фильтра, используя следующую формулу:
г) выбираем порядок фильтра n=2;
д) определяем нормированные полюсы передаточной функции второго порядка фильтра нижних частот с характеристикой Баттерворта по формуле:
для четных n:
где 
k=1 
k=2 
k=3 
k=4 
Для выполнения критерия устойчивости, выбираем нормированные полюсы, лежащие в левой полуплоскости р-плоскости:
,
.
С помощью полученных полюсов, записываем нормированную передаточную функцию фильтра нижних частот с характеристикой Баттерворта второго порядка:
Полученную функцию фильтра денормируем, осуществляя замену 
:
где полюсы денормированной передаточной функции аналогового фильтра:
,
.
Осуществим переход от денормированной передаточной функции H(p) аналогового фильтра к передаточной функции цифрового фильтра:
- методом численного интегрирования (аппроксимация Эйлера);
- методом инвариантной импульсной характеристики
Метод численного интегрирования (аппроксимация Эйлера)
Наиболее простой метод численного интегрирования основан на аппроксимации Эйлера, при которой производная
,
В операторной форме данное уравнение позволяет установить соотношение между р-плоскостью и z-плоскостью:
Определим передаточную функцию H(z) цифрового фильтра воспользовавшись данным соотношением:
Таким образом, мы получили передаточную функцию цифрового фильтра нижних частот с характеристикой Баттерворта:
По полученной формуле передаточной функции H(z) построим схему цифрового фильтра и определим его АЧХ и ослабление.
где 
Рисунок 1 – Схема цифрового фильтра
Определим, удовлетворяет ли полученная схема цифрового фильтра заданным требованиям. Для этого определим АЧХ цепи, характеристику ослабления фильтра и рассчитаем нормированные частоты границ полосы пропускания и полосы непропускания цифрового фильтра.
ослабление цифрового фильтра
Результаты расчетов частотных характеристик полученной цепи приведены в таблице 3.
Метод инвариантной импульсной характеристики
Идея метода заключается в том, что по известной импульсной характеристике h(t) аналогового фильтра определяется импульсная характеристика цифрового фильтра h(nT). При этом h(nT) представляет собой выборки импульсной характеристики h(t):
Преобразовать передаточную функцию аналогового фильтра в передаточную функцию цифрового можно по следующему алгоритму:
если передаточная функция аналогового фильтра представляет собой сумму простых дробей вида:
,
где 
- i-ый полюс аналогового фильтра;
- вычет функции H(p) в полюсе .
то формула перехода от аналоговых фильтров к цифровым имеет вид:
где 
полюс цифрового фильтра, соответствующий полюсу аналогового фильтра.
Данное преобразование применимо как к вещественным, так и к комплексным полюсам . Однако для сопряженного полюса более удобно рассматривать вместе пару комплексно-сопряженных полюсов и 
. Справочные данные для преобразований передаточных функций второго порядка приведены в таблице 2:
где полюсы передаточных функций расположены в точках 
Таблица 2 – Преобразование H(p) для фильтров второго порядка
| Передаточная функция H(p) | Передаточная функция Н(z) | |
| 1 вид | 
| 
|
| 2 вид | 
| 
|
Осуществим переход от денормированной передаточной функции фильтра нижних частот с характеристикой Баттерворта в передаточную функцию цифрового фильтра:
где полюсы 
.
Приведем передаточную функцию 
к стандартному виду:
В результате получена передаточная функция вида 2, умноженная на константу. Воспользовавшись данными таблицы 2 для 2-го вида H(p) получим:
При очень большой скорости дискретизации цифровой фильтр будет обладать большим усилением, что может привести ко многим нежелательным эффектам (например, к переполнению регистров памяти). Чтобы избежать этих эффектов передаточную функцию цифрового фильтра умножим на нормирующий множитель T, который понижает уровень усиления цифрового фильтра до значения усиления аналогового фильтра, т.е.:
Таким образом, мы получили передаточную функцию цифрового фильтра нижних частот с характеристикой Баттерворта методом инвариантности импульсной характеристики:
По полученной формуле передаточной функции H2(z) построим схему цифрового фильтра и определим его АЧХ.
где 
Рисунок 2 Схема цифрового фильтра
АЧХ цепи:
Ослабление цепи:
Результаты расчетов частотных характеристик полученной цепи приведены в таблице 3.
Метод билинейного z-преобразования
Одним из распространенных способов проектирования БИХ-фильтров на основе известного расчета аналоговых фильтров является метод билинейного z-преобразования. Данный метод позволяет сразу получать цифровой фильтр с помощью передаточной функции нормированного аналогового фильтра нижних частот, которая удовлетворяет требованиям обработки сигнала.
Билинейное z-преобразование представляет собой конформное отображение точек p-плоскости в точки z-плоскости так, что дробно-рациональная функция переменной p переходит в дробно-рациональную функцию переменной z. Для этого необходимо, чтобы переменная p представляла собой дробно-рациональную функцию переменной z вида:
Часто вместо множителя 
выбирают значение 
из требования, чтобы нормированная частота среза дискретного фильтра пересчитывалась в нормированную частоту среза аналогового фильтра равную 
.
Тогда
,
где 
Переводим заданные требования на цифровой фильтр в требования на аналоговый фильтр.
а) частота границы полосы пропускания по уровню 2дБ;
рад/с;
нормированная частота границы полосы пропускания :
б) частота границы полосы непропускания для ослабления ;
рад/с;
нормированная частота границы полосы непропускания :
в) поскольку АЧХ имеет монотонно спадающий вид для рад, то выбираем аналоговый ФНЧ с характеристикой Баттерворта.
Определяем порядок фильтра, используя следующую формулу:
г) выбираем порядок фильтра n=2;
д) нормированные полюсы передаточной функции второго порядка фильтра нижних частот с характеристикой Баттерворта уже были посчитаны:
k=1
k=2 
k=3 
k=4 
Для выполнения критерия устойчивости, выбираем нормированные полюсы, лежащие в левой полуплоскости р-плоскости:
,
.
С помощью полученных полюсов, записываем нормированную передаточную функцию фильтра нижних частот с характеристикой Баттерворта второго порядка:
Для определения нормированной частоты полосы пропускания цифрового фильтра определим частоту дискретизации:
рад/с
тогда 
Определим
Тогда соотношение между р-плоскостью и z-плоскостью:
Определим передаточную функцию H(z) цифрового фильтра воспользовавшись данным соотношением и нормированной передаточной функцией фильтра нижних частот с характеристикой Баттерворта второго порядка:
Таким образом, мы получили передаточную функцию цифрового фильтра нижних частот с характеристикой Баттерворта:
По полученной формуле передаточной функции H3(z) построим схему цифрового фильтра.
где 
Рисунок 3 Схема цифрового фильтра
Определим АЧХ цепи и характеристику ослабления фильтра:
Результаты расчета АЧХ и ослабления фильтра приведем в таблицу 3.
Для простоты расчета частотных характеристик полученных цифровых фильтров воспользуемся нормированными значениями частот. Для определения границ полос пропускания и непропускания цифрового фильтра определим частоту дискретизации
рад/с
тогда нормированная частота границы полосы пропускания:
,
нормированная частота границы полосы непропускания:
Рассчитаем частотные характеристики, изменяя нормированную частоту Ω с шагом 0,1. Дополнительно определим значения характеристик для границы полосы пропускания (
) и полосы непропускания (
).
Таблица 3 – Сравнительный анализ трех методов
| Ω | Метод Эйлера | Метод инвариантности h(nT) | Метод билинейного z-преобразования | |||
| H1(Ω) | A1(Ω), дБ | H2(Ω) | A2(Ω), дБ | H3(Ω) | A3(Ω), дБ | |
| 0,9893 | 0,093 | |||||
| 0,05 | 0,655 | 3,67 | 0,7923 | 2,022 | 0,7943 | 2,000 |
| 0,1 | 0,244 | 12,25 | 0,3177 | 9,959 | 0,2967 | 10,554 |
| 0,2 | 0,0718 | 22,88 | 0,0921 | 20,715 | 0,0620 | 24,152 |
| 0,25 | 0,0499 | 26,038 | 0,0637 | 23,917 | 0,0328 | 29,683 |
| 0,3 | 0,0382 | 28,36 | 0,0487 | 26,249 | 0,0173 | 35,239 |
| 0,4 | 0,0277 | 31,15 | 0,0353 | 29,044 | 0,0035 | 49,119 |
| 0,5 | 0,0251 | 32,01 | 0,0319 | 29,924 | 
| |
| 0,6 | 0,0277 | 31,15 | 0,0353 | 29,044 | 0,0035 | 49,119 |
| 0,7 | 0,0382 | 28,36 | 0,0487 | 26,249 | 0,0173 | 35,239 |
| 0,8 | 0,0718 | 22,88 | 0,0921 | 20,715 | 0,0620 | 24,152 |
| 0,9 | 0,2436 | 12,25 | 0,3177 | 9,959 | 0,2967 | 10,554 |
| 1.0 | 0,9893 | 0,093 |
Результаты расчетов можно показать с помощью графиков:
Рисунок 4 - АЧХ цифровых фильтров
Рисунок 5 Ослабление цифровых фильтров
В последнюю очередь делаются выводы по полученному результату проектирования цифрового фильтра и анализируется удовлетворяет ли построенный ЦФ заданным требованиям.
Практическая работа 2