1. Числовые характеристики процесса и датчиков.
Мы будем исходить из следующих характеристик технологического процесса и датчиков, типичных для некоторых процессов радиохимического производства.
· Реагенты могут иметь переменную плотность, меняющуюся в пределах от 700 кг/м³ до 1200 кг/м³, типичное значении — 1000 кг/м³.
· Плотность может измениться максимум на 100 кг/м³ за 1 час.
· Измерения снимаются один раз в секунду, т.е. единица дискретного времени — одна секунда.
· Типичное время открывания/закрывания заслонки — 20 секунд.
· Типичная скорость налива — 1 сантиметр в минуту.
· Высота емкости — от 1,5 до 6 метров.
· Шум измерения для каждого датчика — 0,15% от верхнего предела измерения, равного 100 кПа ≈ 10 м водного столба.
2. Настройка фильтра — выбор значений матричных элементов.
2.1. Матрица ковариаций шума измерения.
Элементы матрицы ковариаций шума измерения 
определяются характеристиками датчиков. Согласно п.1, шум измерения для каждого из двух датчиков принимается равным 0,15% от верхнего предела, равного 100 кПа, т.е. 150 Па. Два датчика работают независимо друг от друга, поэтому 
записывается в диагональном виде (16), где 
.
2.2. Матрица ковариаций шума процесса.
Оценим теперь элементы матрицы 
. Как отмечено в п. 3.1 раздела «Фильтр Калмана и его применение к задаче», матрица имеет два ненулевых элемента: 
и 
, причем для оценки 
необходимо знать примерное поведение величины 
.
Согласно нашему предположению, за 1 час (3600 сек.) плотность может измениться в пределах величины 
кг/м³. Шум 
определяет, согласно (4), дискретный аналог второй производной по времени от («ускорение» величины ). Если, скажем, в начале процесса скорость изменения была нулевой (заметим, что именно это мы неявно предполагали в формуле (8), приписав одинаковые значения 
нулевому и предшествующему, т.е. «минус первому», моментам времени), а через час достигла величины 
, то с разумной степенью точности можно оценить среднюю скорость как 
, и тогда получается 
. Отсюда 
, и мы можем считать, что значения величины с большой вероятностью попадают в интервал 
, а значения случайной величины 
содержатся тогда в 
. Далее, пользуясь правилом трех сигма, можем считать, что 
и, следовательно, 
. Итак, 
.
Далее оценим дисперсию для шума 
величины 
. Как и в случае плотности , шум процесса отвечает за «ускорение» этой величины. Сначала оценим характерное ускорение величины 
из следующих соображений. Предполагаем, что типичная скорость налива 1 сантиметр в минуту (
м/с) и обычно почти постоянна, но может меняться при открывании или закрывании вентиля приблизительно от нуля до этой величины или, наоборот, в течение 20 секунд. Таким образом, наибольшее ускорение величины 
есть 
, и имеет смысл принять, исходя из правила трех сигма, что наиболее характерное значение этого ускорения в три раза меньше максимальной величины, т.е. равно 0,000003. Заметим, что это «ускорение», строго говоря, не представляет собой нормально распределенной величины, тем не менее, фильтр Калмана, как показывает опыт его применения в технических задачах, работает успешно и в этой ситуации.
Теперь мы можем оценить дисперсию 
как «характерное ускорение» величины . Подставляя в (15) характерные значения величин и , а также скоростей и ускорений их изменения, получаем следующую примерную оценку:
.
3. Результаты численного моделирования.
Мы моделируем величины 
и как случайные величины, удовлетворяющие уравнению (4). Значения всех характеристик случайных процессов мы берем соответствующие настройкам фильтра (отметим, тем не менее, что фильтр Калмана хорошо работает и в том случае, когда характеристики шумов отличаются от ожидаемых). На рисунках 1 и 2 показаны графики величин 
и в этом случае. На рисунках многочисленные «разбросанные» точки показывают зашумленные результаты измерения величин и . Две практически совпадающие линии – это реальный ход процесса и результат работы фильтра.
Рисунок 1
Рисунок 2
Из рисунков 1 и 2 видна высокая эффективность фильтрации. Чтобы ее увидеть еще точнее, на рисунке 3 показана разность между реальным ходом процесса изменения плотности и необработанными данными измерения, а на рисунке 4 – между реальным и полученным в результате работы фильтра Калмана. Для крупного плана на рисунках 3 и 4 выбран участок времени 2200 – 2400 сек.
Рисунок 3
Рисунок 4
Таким образом, моделирование показывает, что, во-первых, стохастические уравнения (4) обеспечивают довольно реалистичный характер изменения уровня и плотности рабочей среды. Во-вторых, «интеллектуализация» измерительной системы с помощью фильтра Калмана приводит к резкому (более чем на порядок) повышению точности измерения.
Литература
1. Бобровников Г. Н., Катков А. Г. Методы измерения уровня. — М.: Машиностроение, 1977.
2. Пат. 2133023 РФ / Живописцев В. А. и др. // Изобретения. — 1999. — № 19.
3. Grewal M. S., Andrews A. P. Kalman filtering: Theory and practice. — Wiley-Interscience, 2001.
4. Бриндли К. Измерительные преобразователи. Справочное пособие / Перевод с английского под редакцией Е.И. Сычева. — М.: Энергоатомиздат, 1991.