30.03.2020
Практическое занятие № 10
Числовые характеристики дискретных случайных величин
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности.
Дисперсией (рассеиванием) дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
Пример 1: Для рассматриваемого примера закон распределения случайной величины имеет вид:
| X | |||
| p | 0,0625 | 0,375 | 0,5625 |
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.
Математическое ожидание случайной величины равно:
| [X-M(X)]2 | 2,25 | 0,25 | 0,25 |
| p | 0,0625 | 0,375 | 0,5625 |
Дисперсия равна: 
Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания.
Применим эту формулу для рассматриваемого примера:
| X | |||
| X2 | |||
| p | 0,0625 | 0,375 | 0,5625 |
Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии.
Пример 2: Завод выпускает 96% изделий первого сорта и 4% изделий второго сорта. Наугад выбирают 1000 изделий. Пусть Х – число изделий первого сорта в данной выборке. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.
Выбор каждого из 1000 изделий можно считать независимым испытанием, в котором вероятность появления изделия первого сорта одинакова и равна р = 0,96.
Таким образом, закон распределения может считаться биноминальным.
Пример 3: Найти дисперсию дискретной случайной величины Х – числа появлений события А в двух независимых испытаниях, если вероятности появления этого события в каждом испытании равны и известно, что М(Х) = 0,9.
Т.к. случайная величина Х распределена по биноминальному закону, то
Пример 4: Производятся независимые испытания с одинаковой вероятностью появления события А в каждом испытании. Найти вероятность появления события А, если дисперсия числа появлений события в трех независимых испытаниях равна 0,63.
По формуле дисперсии биноминального закона получаем:
Пример 5: Испытывается устройство, состоящее из четырех независимо работающих приборов. Вероятности отказа каждого из приборов равны соответственно р1=0,3; p2=0,4; p3=0,5; p4=0,6. Найти математическое ожидание и дисперсию числа отказавших приборов.
Принимая за случайную величину число отказавших приборов, видим что эта случайная величина может принимать значения 0, 1, 2, 3 или 4.
Для составления закона распределения этой случайной величины необходимо определить соответствующие вероятности. Примем 
.
1) Не отказал ни один прибор: 
2) Отказал один из приборов: 
0,302.
3) Отказали два прибора:
4) Отказали три прибора:
5) Отказали все приборы.
Получаем закон распределения:
| x | |||||
| x2 | |||||
| p | 0,084 | 0,302 | 0,38 | 0,198 | 0,036 |
Математическое ожидание:
Дисперсия: 
Пример 6: По данному закону распределения дискретной случайной величины Х найти числовые характеристики: а) математическое ожидание М (Х); б) дисперсию D(X); в) среднее квадратическое отклонение.
| Х: | x i | –2 | –1 | |||
| p i | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,3 | 0,1 |
а) Математическое ожидание:
= –2×0,1 + (–1)×0,2 + 0×0,3 + 2×0,3 + 3×0,1 = 0,5.
б) Дисперсия: D (X) = M (X 2) – M 2 (X), где
= (–2)2×0,1 + (–1)2×0,2 + 02×0,3 + 22×0,3 + 32×0,1 = 2,7.
D (X) = M (X 2) – M 2 (X) = 2,7 – 0,52 = 2,7 – 0,25 = 2,45
Среднее квадратическое отклонение находим по определению: s(X) = 
1,57.
Домашнее задание № 2 ( срок выполнения 09.04.2020 )
Задание 1: Составить закон распределения числа Х – суммы очков, выпадающих на двух игральных костях при одном бросании и вычислить основные числовые характеристики.
Задание 2: В городе 4 коммерческих банка. У каждого риск банкротства в течение года составляет 20%. Составьте ряд распределения числа банков, которые могут обанкротиться в течение следующего года, и вычислить основные числовые характеристики.
Задание 3: Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более четырех выстрелов. Составить закон распределения числа промахов, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7, и вычислить основные числовые характеристики.
Задание 4: В магазине продаются 5 отечественных и 3 импортных телевизора. Составить закон распределения случайной величины Х – числа импортных из четырех наудачу выбранных телевизоров и вычислить основные числовые характеристики.
Задание 5: Вероятность досрочно сдать экзамен на «5» для каждого из четырех сдающих студентов равна 0,6. Составить закон распределения случайной величины X – числа студентов (из этих четырех), сдавших этот экзамен на «5», и вычислить основные числовые характеристики.
Задание 6: Продавец покупает персики большими партиями. Учитывая скоропортящийся характер товара, он допускает, что 15% фруктов будут подпорчены. Для проверки качества продавец выбирает 5 персиков. Составить закон распределения случайной величины X – числа подпорченных фруктов среди отобранных персиков, и вычислить основные числовые характеристики.
Задание 7: Производятся независимые испытания трех приборов. Вероятности отказа для них 0,2, 0,3, 0,1 соответственно. Составить закон распределения случайной величины X – числа отказавших приборов, и вычислить основные числовые характеристики.
Задание 8: Обрыв произошел равновероятно на одном из 5 звеньев телефонной линии. Монтер обследует их последовательно до обнаружения обрыва. Составить закон распределения случайной величины X – числа обследованных звеньев, и вычислить основные числовые характеристики.
Задание 9: В программе экзамена 45 вопросов, из которых студент знает 30. В билете 3 вопроса. Составить закон распределения случайной величины X – числа вопросов билета, которые знает студент, и вычислить основные числовые характеристики.
Задание 10: На пути движения автомашины 3 светофора, каждый из которых либо разрешает дальнейшее движение автомобиля с вероятностью 0,2, либо запрещает с вероятностью 0,8. Составить закон распределения случайной величины X – числа пройденных машиной светофоров до первой остановки, и вычислить основные числовые характеристики.
Литература
1. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей. Математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1999.
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 1999.
3. Вентцель А.С. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 1997.
4. Кремер Н.К. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Юнити-ДАНА, 2000.
5. Бугров Я.С., Никольский С.М. Краткий курс теории вероятностей и математической статистики. - М.: Наука, 1987.
6. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Высшая школа, 1999.
7. Кочетков В.Е. Краткий курс высшей математики. - М.: РИЦ МГИУ, 2000.
8. Мантуров О.В., Матвеев Н.М. Курс высшей математики. - М.: Высшая школа, 1986.
9. Мелехов Г. П. Высшая математика (для экономических специальностей). - М.: Наука, 1986.
10. Солодовников А.С. Теория вероятностей. - М.: Просвещение, 1982.