Раздел 3. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ

Основные формулы

1. Закон Кулона:

2. Напряженность электростатического поля:

3. Напряженность поля точечного заряда:

4. Напряженность поля равномерно заряженной плоскости:

5. Напряженность поля между двумя равномерно и разноименно заряженными бесконечными параллельными плоскостями:

6. Вектор электростатической индукции:

7. Работа перемещения заряда в электрическом поле из точки А в точку В:

8. Потенциалы поля точечного заряда:

9. Потенциал электрического поля металлической полой сферы радиуса R на расстоянии r от центра сферы:

а) на поверхности и внутри сферы: ;

б) вне сферы (r>R):

10. Связь между напряженностью поля и потенциалом:

11. Сила притяжения между двумя разноименными заряженными обкладками конденсатора:

12. Электрическая ёмкость уединенного проводника:

13. Ёмкость сферического проводника:

14. Ёмкость плоского конденсатора:

15. Ёмкость батареи параллельно соединенных конденсаторов:

16. Формула для определения ёмкости батарей последовательно соединенных конденсаторов:

17. Энергия заряженного проводника:

18. Энергия заряженного плоского конденсатора:

19. Объемная плотность энергии электрического поля:

20. Сила тока:

21. Закон Ома для участка цепи, не содержащего ЭДС:

22. Закон Ома для полной цепи:

23. Закон Ома в дифференциальной форме:

24. Закон Джоуля – Ленца:

25. Закон Джоуля – Ленца в дифференциальной форме:

26. Термоэлектродвижущая сила:

27. Сопротивление однородного проводника:

28. Удельная проводимость (электропроводность):

29. Зависимость удельного сопротивления от температуры:

30. Полная мощность, выделяющаяся в цепи постоянного тока:

31. Коэффициент полезного действия источника тока:

32. Законы Кирхгофа:

а) ;

б)

33. Работа кулоновской силы:

34. Первый закон Фарадея для электролиза:

35. Второй закон Фарадея для электролиза:

36. Индукция магнитного поля:

37. Закон Ампера:

38. Механический момент, действующий на контур с током в магнитном поле:

39. Магнитный момент контура с током:

40. Закон Био – Савара – Лапласа: .

41. Напряженность магнитного поля в центре кругового тока радиуса R(H₁) и на оси на расстоянии b от плоскости витка (H₂):

42. Циркуляция вектора напряженности магнитного поля:

43. Напряженность магнитного поля, созданного бесконечно длинным прямым проводником с током на расстоянии R от проводника:

44. Напряженность магнитного поля, созданного отрезком проводника:

45. Напряженность магнитного поля внутри тороида и бесконечно длинного соленоида:

46. Сила взаимодействия двух прямолинейных параллельных проводников с током:

47. Напряженность магнитного поля, создаваемого движущимся зарядом:

48. Сила Лоренца:

49. Магнитный поток для однородного магнитного поля и плоского контура:

50. Работа по перемещению проводника с током и контура с током в магнитном поле:

51. Основной закон электромагнитной индукции:

52. Потокосцепление:

53. Электродвижущая сила самоиндукции:

54. Индуктивность соленоида:

55. Потокосцепление соленоида:

56. Количество электричества, протекающего в контуре при возникновении в нем индукционного тока:

57. Энергия магнитного поля:

58. Объемная плотность энергии магнитного поля:

59. Формула Томсона:

60. Длина волны:

61. Скорость распространения электромагнитных волн в среде:

62. Обобщенный закон Ома для цепи, переменного тока:

63. Полное сопротивление (импеданс) цепи, состоящий из последовательно соединенных R, L, C элементов:

64. Кажущаяся (полная) мощность в цепи переменного тока:

65. Активная мощность в цепи переменного тока: (Вт).

66. Реактивная мощность в цепи переменного тока: (ВАр).

67. Коэффициент мощности:

 

Примеры решения задач

Задача 1. Два положительных точечных заряда находятся на расстоянии 0,5 м один от другого. Величина одного заряда вдвое больше другого заряда. На прямой, соединяющей эти заряды, находится третий заряд. Определить, на каком от большего заряда находится третий заряд, если система находится в равновесии?

Дано: r = 0,5 м; q2= 2q1. x -?	Решение: F2 F1 x q1 q3 q2 r – x x r   Рис. 8
На заряд q3 действуют силы: F1 и F2 – электрические силы взаимодействия с зарядами q1 и q2 соответственно. Запишем условия равновесия в скалярной форме относительно оси Х: F1 – F2 = 0, откуда F1 = F2. Учитывая, что ; где х – расстояние между зарядами q2 и q3. Получаем или ; откуда х = 1,4(r – x); 2,4x = 1,4r. . Ответ: х = 0,3 м.

Задача 2. Бесконечная вертикальная плоскость заряжена с поверхностной плотностью, равной 10мкКл/м². К плоскости на шелковой нити подвешен шарик массой 1,5 г. Определить заряд шарика, если нить образует угол 30^о с плоскостью.

Дано: =10мкКл/м2= 10-5 Кл/м2; m = 1,5г = 1,5.10-3 кг; = 30о. q -?

Решение: у   Т Fк х mg Рис. 9

На заряженный шарик, подвешенный на нити, в электрическом поле действуют: F – электрическая сила, с которой поле плоскости действует на заряженный шарик, mg – сила тяжести, Т – сила натяжения нити. Запишем условия равновесия шарика относительно осей х и у: Ось х F - Tsin = 0; (1) Ось у -mg + Tcos = 0. (2) Решая (1) и (2) получим F = mg tg . (3) Учитывая, что F=Eq, a , получим , . . Ответ: q = 15,5 нКл.

Задача 3. Электрическое поле создано двумя точечными зарядами 2^.10^-7 Кл и -2^.10^-7 Кл. Расстояние между зарядами 50 см. Определить напряженность электрического поля в точке А, находящейся на расстоянии 40 см от первого заряда и на расстоянии 30 см от второго заряда.

 

Дано: q1 = 2.10-7 Kл; q2 = -2.10-7 Kл; r = 50 cм = 0,5 м; r1 = 40 см = 0,4 м; r2 = 30 см = 0,3 м; Е -?	E1 Решение: E r1 E2   q1 q2 r Рис. 10
Согласно принципу суперпозиции напряженность Е равна – векторной сумме напряженностей 1 и 2, т.е. Е = Е1 + Е2. (1) По теореме косинусов , (2) где , (3) . (4) cos найдем . . ; следовательно, = 900. Уравнение (2) примет вид: . (5) Подставим численные значения: . Ответ: Е = 2,3.104 В/м.

Задача 4. Электрон, начальная скорость которого 2 Мм/с, влетает в однородное электрическое поле с напряженностью 10 кВ/м так, что вектор начальной скорости перпендикулярен линиям напряженности. Определить скорость электрона по истечении времени 1 нс.

Дано: 0= 2 Мм/с = 2.106 м/с; Е = 10 кВ/м = 107 В/м; t = 1 нс = 10-9 с. -?

Решение: – 0 1 Рис. 11 +

На электрон, находящийся в электрическом поле, действует сила , (1) где е – заряд электрона. Направление этой силы противоположно направлению силовых линий поля. В данном случае сила направлена перпендикулярно скорости 0. Она сообщает электрону ускорение , (2) где m – масса электрона. Таким образом, в момент времени t скорость электрона = 0 + 1, где 1 – скорость, которую получает электрон под действием сил поля. Скорость 1 найдем по формуле: . (3) Так как скорости 0 и 1 взаимно перпендикулярны, то значение результирующей скорости: . (4) Подставив в (4) выражение скорости (3) и учтя (2), получим . 2,66 Мм/с. Ответ: = 2,66 Мм/с.

Задача 5. Воздушный конденсатор с зарядом на обкладках q₁ площадью обкладок S и расстоянием между ними d погружают в жидкость с диэлектрической проницаемостью E₂ на его объема. Найти напряжение на обкладках конденсатора после погружения.

 

Дано: q; d; E1; E2; V2= V1. U -?

Решение: с1 E1 с2 E2 Рис. 12 Рис. 13

Конденсатор, частично погруженный в жидкость, можно представить в виде двух параллельно соединенных конденсаторов с одинаковым расстоянием между обкладками d, одинаковым напряжением на них U, но с разными диэлектрическими проницаемостями E1 и E2 и разными площадями обкладок: и , где и , поэтому и . Общая емкость этой батареи с = с1 + с2, где и , поэтому (1) Суммарный заряд на батарее из этих двух конденсаторов остался таким же, каким был до погружения: , откуда . (2) Подставив (1) в (2) . Ответ: .

Задача 6. Сопротивление платиновой проволоки при температуре 20 ⁰С равно 20 Ом, а при температуре 500 ⁰С – 590 м. Найти температурный коэффициент.

 

Дано: t1 = 20 0С; R1 = 20 Ом; t2 = 500 0С; R2 = 59 Ом. -?	Решение: Сопротивление проводника при температурах t1 и t2 определяется формулами: R1 = R0(1 + t1); R2 = R0(1 + t2), где R0 – сопротивление этого проводника при 0 0С. Разделим эти равенства друг на друга:
, откуда R1(1 + t2) = R2(1 + t1); R1+ R1 t2 = R2+ R2 t1; R1 t2 - R2 t1 = R2 – R1; (R1t2 - R2t1) = R2 – R1; ; = 0,0044 К-1. Ответ: = 0,0044 К-1.

Задача 7. Амперметр сопротивлением 0,1 Ом имеет шкалу до 4 А. Какое сопротивление должно быть у шунта, чтобы увеличить предел измерения амперметра до 24 А?

 

Дано: R1 = 0,1 Ом; I1 = 4 A; I2 = 24 A. Rш -?	Решение: Iш   I2 I1 A   Рис. 14
Ток в неразветвленной части цепи I2 = I1 + Iш, но так как шунт и амперметр соединены параллельно, то U = IR1 = IшRш. , т.е. I2 = I1 + ; отсюда ; Ом. Ответ: Rш = 0,02 Ом.

Задача 8. Вольтметр сопротивлением 200 Ом имеет шкалу до 60 В. Какое дополнительное сопротивление нужно подключить к вольтметру, чтобы увеличить предел измерения вольтметра до 300 В?

Дано: R1 = 200 Ом; U1 = 60 В; U2 = 300 В. R -?	Решение: R V   Рис. 15
При последовательном соединении напряжение на концах участка U2 = U1 + UR, так как ток во всех участках цепи одинаков, то или , ; отсюда . Ом = 800 Ом. Ответ: R = 800 Ом.

Задача 9. Как изменится температура медного провода, если по нему в течение 5 с проходит ток плотностью 9 А/мм² и 25 % тепловой энергии отдается окружающим телам?

 

Дано: t = 0,5 с; 2 = 9 А/мм2 = 9.106 А/м; = 0,75 Т -?

Решение: Запишем выражение для КПД , (1) Qп – количество теплоты, затраченное на нагревание проводника.

Qп = m c T, учитывая, что m = V, a V = l S, получим Qп = l S c T, (2) = 8900 кг/м3 – плотность меди; с = 380 Дж/(кг. К) – удельная теплоемкость меди; Qз – количество теплоты, которое выделится при прохождении электрического тока по проводнику. По закону Джоуля - Ленца Qз = I2Rt, учитывая, что I = jS, a R = , получим Qз = j2 t = j2S l t, (3) = 1,7.10-8 Ом . м – удельное сопротивление меди. Подставляем (2) и (3) в (1) . . . Ответ: Т = 1,5 К.

Задача 10. Батарея элементов состоит из параллельно соединенных источников тока с ЭДС 5,5 В и внутренним сопротивлением каждого источника

5 Ом. При силе тока во внешней части цепи 2 А полезная мощность (т.е. мощность тока во внешней части цепи) равна 7 Вт. Сколько источников тока содержит батарея?

Дано: Е = 5,5 В; r = 5 Ом; I = 2 А; Р = 7 Вт. n -?	Решение: Закон Ома для n параллельно соединенных источников тока с одинаковыми ЭДС и внутренними сопротивлениями: . (1) - внешнее сопротивление. (2)
Подставляем (1) в (2) получим . . Ответ: n = 5.

Задача 11. Сколько электроэнергии надо затратить для выделения в процессе электролиза 1 л кислорода при температуре 27 ^ОС и давлении 10⁵ Па, если электролиз ведется при напряжении 10 В и КПД процесса 75 %?

 

Дано: V=1л = 10-3 м3; Т=27 ОС+ 273 ОС=300 К; U = 10 В; Р=105 Па; = 0,75; К=0,083.10-6 кг/Кл; =32.10-3 кг/моль.   А3 -?	Решение: Запишем формулу КПД , (1) где АП = IUt – работа, совершаемая эл. током. (2) Силу тока выразим из закона Фарадея для электролиза m = Kit; . (3)
Подставим (3) в (2) . (4) Массу кислорода найдем из уравнения Менделеева – Клапейрона ; . (5) Подставим (5) в (4) . (6) Подставим (6) в (1) получим , отсюда . . Ответ: АЗ=2.105 Дж.

Задача 12. Термопара, сопротивление которой 6 Ом, позволяет определить минимальное изменение температуры t_мин = 0,006 ⁰С. Найти сопротивление гальванометра, подключенного к термопаре. Постоянная термопары

 

 

Дано: Ом; tмин = 0,006 0С;	I2 Решение: Электродвижущая сила , возникающая в термопаре при разности температур ее спаев, вычисляется по формуле (1) С другой стороны, согласно закону Ома (2)
где - сила тока в цепи термопары; - полное сопротивление цепи; - сопротивление гальванометра. Приравнивая правые части (1) и (2), получим откуда (3) Но где - число делений, на которое отклонилась стрелка гальванометра при силе тока . Подставив указанные выражения и в (3) и сократив на , получим (4) Выпишем числовые значения в СИ и подставим их в (4): Ом; Ом = 14 Ом. Ответ: = 14 Ом.

Задача 13. По двум длинным прямолинейным и параллельным проводам, расстояние между которыми 4 см, в противоположных направлениях текут токи , Найти магнитную индукцию поля в точке , которая находится на расстоянии 2 см от первого провода на продолжении линии, соединяющей провода.

 

Дано: ; ; ;

Решение: I2 I1     A       Рис. 16

На рисунке провода расположены перпендикулярно к плоскости чертежа. Маленькими кружочками изображены сечения проводов. Условимся, что ток течет к нам, а ток - от нас. Общая индукция в точке равна векторной (геометрической) сумме индукции и полей, создаваемых каждым током в отдельности, т.е. (1) Для того чтобы найти направление векторов и , проведем через точку силовые линии магнитных полей, созданных токами и . Силовые линии магнитного поля прямого провода с током представляют собой концентрические окружности с центром на оси провода. Направление силовой линии совпадает с движением концов рукоятки правого буравчика, ввинчиваемого по направлению тока (правило буравчика). Поэтому силовая линия магнитного поля тока , проходящая через точку , представляет собой окружность радиусом а силовая линия магнитного поля тока , проходящая через эту же точку, - окружность радиусом (на рис. 6 показана только часть этой окружности). По правилу буравчика находим, что силовая линия магнитного поля тока направлена против часовой стрелки, а тока - по часовой стрелке. Теперь легко найти направление векторов и в точке : каждый из них направлен по касательной к соответствующей силовой линии в этой точке. Так как векторы и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны, то векторное равенство (1) можно заменить алгебраическим равенством (2) Индукция магнитного поля тока , текущего по прямому бесконечно длинному проводу, вычисляется по формуле (3) где - магнитная постоянная; - магнитная проницаемость среды, в которой провод расположен; - расстояние от провода до точки, в которой определяется индукция. Подставив значения и в равенство (2), получим или (4) Выразим числовые значения в СИ и подставим их в (4): Ответ:

Задача 14. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией 5 мТл по окружности. Найти период его обращения. Масса электрона 9,1^.10^{-31 кг, модуль его заряда 1,6.}10^-19 Кл.

 

 

Дано: В = 5 мТл = 5.10-3 Тл; m = 9,1.10-31 кг; е = 1,6.10-19 Кл. Т -?	Решение: На заряд, движущийся в магнитном поле, действует сила Лоренца , (1) где = 900 и sin 90 = 1. По второму закону Ньютона эта сила F = m ,
где - центростремительное ускорение, тогда . (2) Приравниваем правые части (1) и (2) . Учитывая, что . , отсюда . с = 7.10-9 с. Ответ: Т = 7 нс.

Задача 15. В однородное магнитное поле индукцией 10^-4 Тл влетает -частица со скоростью 2^.10³ м/с под углом 30⁰ к направлению вектора индукции. Определить радиус витков траектории -частицы и ра