Китайский алгоритм умножения

В Китае существуют множество техник вычисления, которые можно использовать по сей день, например:

«Китайский» алгоритм умножения трехзначных чисел, имеющий популярность на сайте Youtube, основан на законе дистрибутивности операции умножения, относительно операции сложения:

(100а+10b+c)·(100e+10f+h)=10000ae+1000af+100ah+1000be+100bf+10bh+100ce+10cf+ch=

10000ae+1000(af+be)+100(ah+bf+ce)+10(bh+cf)+ch

Рассмотрим этот алгоритм на примере умножения 242 и 121

20000+8000+1200+80+2=20000+9000+200+80+2=29282

Или, к примеру, чтобы устно умножить на 4, число дважды нужно умножить на два. Например: 51*2*2= 102*2=204

А если умножать на 5, то сначала умножают на 10, а после делят на 2.

Если число четное, легче сначала поделись на 2, а затем умножить на 10.

Например: 23*10:2 = 230:2=115; 16:2*10= 8*10=80

Чтобы устно умножить на 1,5, прибавляют множимому его половину.

Например: 23·1,5=23·1+23·0,5=23+11,5=34,5

Деление чисел происходит примерно так же, но в обратную сторону, т.е. если нам надо разделить на 4, число нужно дважды разделить на 2.

Для деления на 5, число нужно умножить на 2 и разделить на 10.

Например: 84:5=168:10=16,8

А для только что бы разделить на 1,5, число умножается на 2 и делится на три.

Например: 36:1,5=72:3=24

Запись цифр

Согласно данным, собранным при изучении надписей на иньских гадательных костях, уже в XIV–XIII вв. до н.э. китайцы обладали достаточно развитой десятичной системой счисления с зачатками применения позиционного принципа. В такой же системе записаны числа на чжоуских монетах и бронзовых сосудах. Однако при этом частично использовались другие по форме цифровые знаки (рис. 1).

Рис. 1

Все иньские и чжоуские цифры можно разделить на две группы. В первую входят цифры, обозначающие числа от 1 до 9 («и», «эр», «сань», «сы», «у», «лю», «ци», «ба», «цзю»). Число 1 символизируется одной горизонтальной чертой, а числа от 2 до 4 (иногда и 5) – количественно соответствующими сочетаниями горизонтальных черт. Для чисел от 5 до 9 выбраны знаки, происхождение которых неясно. Во вторую группу входят цифры 10, 100, 1000 и 10 000 («ши», «бай», «цянь», «вань»). Цифра 10, представляющая собой вертикальную черту, возникла, возможно, как поворот на 90 градусов цифры 1, поскольку такой же принцип, но только в противоположной записи, встречается в выражении чисел 1 и 10 с помощью счетных палочек. Происхождение цифр 100, 1000 и 10 000 неясно.

Запись всех чисел, применявшихся китайцами в эпохи Шан-Инь и Чжоу, осуществлялась с помощью указанных цифр путем их сочетаний, варьирующихся по положению и допускающих вариации форм исходного набора знаков. Например, числа 11, 12 и 13 записывались с помощью вертикальной черты и помещенных справа или слева от нее соответственно одной, двух и трех горизонтальных. Числа 20, 30 и 40 записывались как сочетания двух, трех и четырех вертикальных черт, подобных цифре 10, но изогнутых и соединяющихся книзу так, что они образуют знаки в форме вил соответственно с двумя, тремя и четырьмя зубьями. В чжоускую эпоху те же числа записывались еще как цифра 10, перечеркнутая соответственно двумя, тремя и четырьмя горизонтальными чертами. Цифры 100 и 1000 являются, по сути, сочетаниями единицы (горизонтальная черта) и неких знаков, обозначающих соответственно сотый и тысячный разряды и не встречающихся в «свободном состоянии». Так, числа 200 и 300 обозначаются символом 100, у которого сверху добавляются соответственно одна и две горизонтальные черты, а числа 2000 и 3000 – символом 1000, который дополнительно перечеркивается одной или двумя горизонтальными чертами. В общем случае исходные знаки для 100 и 1000 без горизонтальных черт дополняются той или иной цифрой из набора 1–9 при необходимости выразить соответствующее число сотен и тысяч. За исключением упомянутой выше разновидности записи чисел 20, 30 и 40, числа десятичного разряда выражаются схожим способом, отличающимся лишь тем, что знак этого разряда и цифра 10 не различаются (насколько известно по найденным образцам иньской и чжоуской цифровой записи), хотя внутренняя логика системы этого требовала. Таким образом, сочетая в горизонтальной или вертикальной записи, составленные указанным способом цифры, древние китайцы могли записать любое число от 1 до 99 999.

После реформ письменности, осуществлявшихся во время царствования династий Цинь и Ранняя Хань, в Китае установилась иероглифическая форма цифр, которой китайцы пользуются до сих пор при записи чисел и которая базируется на старом написании, но является полностью именованной.

Она десятичная, непозиционная, с мультипликативным принципом записи чисел. Это значит, что в ней существуют девять цифр и обозначения десятичных разрядов (рис. 2,1-я колонка таблицы).

Рис.2

Всякое число любого разряда за исключением единичного может быть записано и произнесено с помощью этих знаков (двух иероглифов): сначала ‒ цифра, обозначающая число единиц разряда, за ней ‒ название самого разряда. Например, число 1234 записывается как «и» «цянь» «эр» «бай» «сань» «ши» «сы», что в буквальном переводе означает «одна тысяча две сотни три десятка четыре» (в русском языке «одна тысяча двести тридцать четыре»). А число 38071 ‒ как «сань» «вань» «ба» «тянь» «чи» «ши» «и» и представляется так (см. рисунок слева).

Такого рода нумерацию, один из крупнейших специалистов по истории математики и астрономии Древнего мира Б. Л. ван дер Варден называет именованной позиционной. Стоит в ней только опустить названия разрядов и ввести нуль, как она превратится в позиционную.

Большие числа

Для счета древнему китайцу сначала было достаточно четырех разрядов, которые и образовали первый класс: единицы «и», десятки «ши», сотни «бай», тысячи «чень». Свидетельством этого служит фраза из «Истории Ранней Хань»¹, приписываемая исторической традицией Бань Гу: «Счет ведут единицами, десятками, сотнями, тысячами и ванями».

Действительно, «вань», то есть 10 000 первоначально считался предельным числом. В «Цзо чжуань»² говорится: «Вань есть полное число».

В иньских числовых записях всегда указывалось: один десяток или первый из десяти, одна сотня, одна тысяча, но «вань» писали без слова «один». Современные иероглифы для десятков, сотен, тысяч ‒ комбинации единицы с древним иероглифом для этих разрядов (см. рис. 4) и в более поздние времена, « ванъ» употреблялся для выражения неопределенно больших количеств (к сравнению ‒ даже современное «ваньсуй», означающее десять тысяч лет в смысле «да здравствует»), часто с эпитетами: «большой», «громадный», «огромный». Например, в «Исторических записках» Сыма Цяня (II в. до н. э.) говорится: «В казначействе скоро будут сотни громадных ваней золотых монет».

Рис.4

В «Истории Ранней Хань», сообщается: «Расходы исчислялись десятками, сотнями огромных ваней», ‒ фраза, которая цитировалась и в нашем столетии, когда говорили о безумных тратах. «На работы потратили больших ваней более сотни».

Иногда же просто говорили: «Умершие исчислялись ванями, так что реки не могли течь» (фраза из «Истории Поздней Хань»).

Или там же: «Клеветники исчислялись ванями».

Но границы человеческой деятельности постепенно раздвигались, и наступило время, когда потребовались еще большие числа. Начиная со II‒III вв. до н.э., а в отдельных случаях гораздо раньше в Китае стали применять числа, бóльшие ваня.

Сначала, по-видимому, название давали каждому новому разряду ваня: 10⁵, 10⁶, 10⁷,..., 10¹² (см. столбец I табл. 1).

Иногда это делали, начиная с третьего разряда, однако это было неэкономно. Поэтому стали использовать для высоких классов порядок построения первого класса, употребляя названия его разрядов, и тогда каждое новое название надо было давать только единицам очередного нового класса 10⁴, 10⁸, 10¹²......, 10³⁶ (см. столбец III табл. 1). Пример такого числа содержится в тексте «Цзю чжансуань шу»ⁱ: 1 644 866 437 500 (объем сферы в «чи»). Иероглифами это число записывается следующим образом: 1 «вань» 6 тысяч 4 сотни 4 десятка 8 «и» 6 тысяч 6 сотен 4 десятка 3 «ваня» 7 тысяч 5 сотен.

В четвертом классе этого числа новая единица не названа, в третьем ‒ это «и», хотя в более ранних текстах она обозначается иероглифом «чжао». «И» и «чжао» обнаружены в исторических книгах «Лицзи» и «Цзочжуань» (около IV в. до н. э.).

В эпоху Тан (VII‒IX вв. н. э.) эти две системы именовали «большим» и «малым» счетом ‒ так называл их Кун Ин-да, комментатор «Лицзи».

Еще более экономный способ построения системы больших чисел состоит в том, чтобы до 10⁸ поступать, как следует по правилам второго столбца таблицы, а далее в следующих классах использовать всякий раз все названия вплоть до 10⁸. Приведенный выше пример из «Математики в девяти книгах», вероятно, выражен в такой системе. В этом случае новые названия потребуются лишь через восемь разрядов: 10⁸, 10¹⁶, 10²⁴,..., 10⁸⁰ (см. столбец IV табл. 1). Самый быстрый рост степеней ‒ это когда всякий раз удваивается их счет: 10⁴, 10⁸, 10^м, 10³², 10⁶⁴,..., 10¹²² (eta. столбец V табл. 1). В математических трактатах указывалось несколько систем, так что пользующийся мог применять любую из них. Например, в «Математическом трактате Сунь-цзы» указаны «обычная система» и «большой счет» (дату, см. столбцы II и IV табл. 1). А в книге «Шу ту цзи и» (VI в. н. э.) указаны три класса (см. столбец II табл. 1) счета: «нижний», «средний», «верхний», что можно перевести также как «малый», «средний», «большой» (см. столбцы I, III, V табл.1). Это часто поясняет Чжэнь Луань в своих комментариях к древним текстам в трактатах «Десятикнижья».

Подобный разнобой в наименованиях разрядов больших чисел наблюдался у других народов.

Из всего разнообразия систем в Китае утвердилась система, в которой показатели степеней основания составляют арифметическую прогрессию с разностью, равной четырем (см. столбец III табл. 1).

Выводы по первой главе

Под ………… будем понимать ………………

Сущность ……………….. заключается ………………………………..