Резонанс токов.
Цель работы: рассмотреть явления, происходящие в цепи переменного тока, содержащей параллельно соединенные катушку и конденсатор (рис. 4.1), ознакомиться с резонансом токов.
Рис. 4.1. Схема электрической цепи с параллельным
соединением элементов.
Пояснения к работе
Рассмотрим параллельное соединение катушки, обладающей индуктивным xL=ωL и активным r сопротивлениями, с конденсатором, обладающим емкостным сопротивлением 
(рис. 4.2). При включении такой цепи под напряжением U в катушке возникает ток Iк.
Рис. 4.2. Принципиальная схема параллельного
соединения r, xL, xc
, (4.1)
где 
— полное сопротивление катушки.
Вектор тока будет отставать от вектора напряжения на угол φк:
; 
. (4.2)
В конденсаторе возникает ток Ic:
. (4.3)
Вектор тока İc будет опережать на 90˚ вектор 
, φс= 90˚. Вектор общего тока на основании первого закона Кирхгофа:
İ = İк + İс. (4.4)
Векторная диаграмма токов согласно (4.4) показана на рис.4.З
Вектор тока İк проводим под углом φк к вектору напряжения . Из конца вектора тока İк проводим вектор тока İс под углом φс=90˚ к вектору напряжения (в сторону опережения). Сумма вектора İк и İс даст вектор общего тока, отстающий на угол φ от вектора напряжения.
Для аналитического определения общего тока I и угла φ разложим ток катушки Iк на активную составляющую Ia, совпадающую с напряжением U, и индуктивностью IL, отстающую на 90˚ от напряжения U.
;
, (4.5)
где g и bL – активная и индуктивная проводимости катушки:
; 
. (4.6)
Аналогично определяются проводимости конденсатора. При отсутствии в конденсаторе активного сопротивления (rc= 0) активная проводимость его равна нулю: 
, где zc= xc.
|
|
Емкостная проводимость:
(4.7)
Из векторной диаграммы на рис. 4.3. имеем:
(4.8)
. (4.9)
Подставим значения Ia, IL и Ic из уравнения (4.5) и (4.7) в уравнение (4.8), получим:
. (4.10)
где 
– полная проводимость всей цепи.
Разделив стороны треугольника (рис.4.3) на напряжение U, получим треугольник проводимостей (рис.4.4), из которого находим:
(4.11)
Изменяя величину емкости С, от которой зависит значение bc, согласно (4.7), можно изменять соотношение между bc и индуктивными проводимостями (bL), а, следовательно, и токами:
Ic=Ubc=Uωс; IL=UbL
Рис.4.3. Векторная диаграмма напряжения и токов для цепи с параллельным
соединением катушки и емкости при IL>IС
При величине bC<bL, т.е. C< 
имеем:
Uωс<Ubc или IC<IL.
Преобладает индуктивная проводимость bL и, следовательно, ток IL, поэтому вектор общего тока İ отстает от вектора напряжения (рис.4.3).
При величине bC>bL, т.е. C> 
имеем:
Uωс<UbL или IL<IС
Преобладает емкостная проводимость bC и, следовательно, ток IС, поэтому вектор общего тока İ опережает вектор напряжения (рис.4.5).
Рис.4.4. Векторная диаграмма для цепи с параллельным
соединением катушки и емкости при IC< IL
Рис.4.5. Векторная диаграмма для цепи с параллельным
соединением катушки и емкости при IC> IL
При величине емкости: 
, (4.12)
емкостная проводимость равна индуктивной:
bC = ωc = bL, (4.13)
а, следовательно, будут равны между собою емкостный и индуктивный токи (рис.4.6):
bC U= bLU; IC= IL. (4.14)
Мы получим резонанс токов, т.е. полную взаимную компенсацию индуктивного и емкостного токов:
IC – IL= 0. (4.15)
В результате общий ток I при резонансе состоит только из активной составляющей, согласно выражению (4.8) и рис.4.6.
|
|
I= Ia= Ug, (4.16)
поэтому угол φ= 0, а cos φ= 1.
Полная проводимость цепи, а следовательно, и ток I принимает минимальное значение, так как согласно (4.10) У=g, поскольку bC – bL= 0, а полное сопротивление цепи 
, следовательно максимальное значение.
Реактивная мощность цепи равна нулю:
U(IC - IL) = 0; QL – QC= 0.
 |
Рис.4.6. Векторная диаграмма при резонансе токов (IC= IL)
Явление резонанса токов, т.е. взаимной компенсации реактивных токов (IC–IL=0), а, следовательно, и реактивных мощностей (QL–QC=0) объясняют следующим. Когда индуктивная ветвь (катушка) потребляет энергию для создания магнитного поля, в этот момент в параллельной ветви конденсатор разряжается и отдает энергию. Происходит взаимная компенсация энергий.
Общая энергия, потребляемая из сети, расходуется только на активном сопротивлении катушки (на нагревание провода катушки).
Зависимость полного сопротивления Z цепи от величины емкости будет иметь следующий вид:
, (4.18)
где 
и 
от C не зависят.
Кривые Z= f1(C) и I= f2(C), построенные по выражениям (4.18) и (4.10), показаны на рис.4.7. Там же дана кривая cosφ= f3(C), построенная по уравнению (4.11). Из (4.12) видно, что величины емкости и индуктивности, при которых наступает резонанс, зависят от частоты переменного тока. При заданных постоянных C и L явление резонанса может быть получено изменением частоты.
 |
Рис.4.7. График зависимости тока в цепи I, cosφ
и полного сопротивления z от емкости.