Приложения двойного интеграла

Кратные интегралы

Двойные интегралы

Пусть функция f(x,y) определена в ограниченной замкнутой области D плоскости хОy. Разобьём область D произвольном образом на n элементарных областей, имеющих площадь ∆σ , ∆σ , …, ∆σ и диаметры d , d₂, …, d (диаметром области называется наибольшее из расстояний между двумя точками границы этой области). Выберем в каждой элементарной области произвольную точку P (ξ ;η_к) и умножим значение функции в точки P на площадь этой области.

Рис.1

Интегральной суммой для функции f(x,y) по области D называется сумма вида

.

Если при max d интегральная сумма имеет определенный конечный предел

I = ,

не зависящий от способа разбиения D на элементарные области и от выбора точек P в пределах каждой из них, то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x, y) в области D и обозначается следующим образом:

I = .

Если f(x,y)>0 в области D, то двойной интеграл равен объему цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z = f(x,y), сбоку цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси О , и снизу областью D плоскости хОy.

Основные свойства двойного интеграла:

1.

2. , где с – постоянная.

3. Если область интегрирования D разбита на две области D и D , то

4. Оценка двойного интеграла. Если m ≤ f(x,y) ≤ M, то , где S - площадь области D, а m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x,y)в области D.

 

Пример 1. Вычислить ,если область D ограничена прямыми y = х, y = 2х, х =2, х =3.

Решение. Вначале построим заданную область D (рис.2). Как видно

из графика D = .

 

Тогда

= 25 .

Пример 2. Изменить порядок интегрирования в интеграле:

I = .

Решение. Вначале по пределам интегрирования определяем область интегрирования. Полагая x равным пределам интеграла с переменной х, а y равным пределам интеграла с переменной y, получим уравнения линий, ограничивающих эту область: х = -2, х = 2, y = , y = 4.

Построив эти линии, получим параболический сегмент ОАВ, симметричный оси О (рис.3).

Интегрируем в другом порядке – вначале по х, затем по y. Пределы внутреннего интеграла находим, разрешая относительно х

уравнение параболы х = - и х = . Пределы внешнего интеграла y = 0 и х = 4 находим как наименьшее и наибольшее значение y во всей области ОАВ. Следовательно,

.

 

Рис. 3

Двойной интеграл в полярных координатах. Преобразование двойного интеграла от прямоугольных координат х, y к полярным координатам ρ, θ, связанным с прямоугольными координатами соотношениями

х = r cosj, y = r sinj,

осуществляется по формуле

Рис.2

.

Пример 3. Перейдя к полярным координатам, вычислить двойной интеграл , если D - I четверть круга .

Решение. Полагая х = r cosj, y = r sinj, имеем уравнение окружности

r² cos²j + r² sin²j = 1 или r = 1, тогда

= = .

Приложения двойного интеграла

Вычисление площади плоской фигуры. Площадь плоской фигуры, ограниченной областью D, находится по формуле

.

Если область D определена, например, неравенствами , то

.

Если область D в полярных координатах определена неравенствами , то

.

 

Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

, x + y = 6.

Рис.4

 

Решение. Построим данную область Д: , x + y = 6 (рис.16). Найдем координаты точек пересечения заданных линий, решая систему уравнений: и

x + y = 6. В результате получим А(4;2), В(3;3). Таким образом,

D= и площадь области равна:

 

dy =

= (кв.ед.).

Вычисление объёмов тел

А. Объём цилиндрического тела

 

Отметим, что кроме этой формулы можно написать ещё две аналогичные. Речь идёт о случаях, когда “основание” тела лежит в плоскости или , а “крыша” задаётся, соответственно, неотрицательной функцией или

 

Рис.5.
Пример 5. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями

y

x

z

x

y

Решение. Поверхность – это цилиндрическая поверхность, образующие которой параллельны оси ординат (переменной нет в уравнении

 

 

 

Рис.6.

а направляющей служит парабола в плоскости . Поверхности и – координатные плоскости и соответственно, а – плоскость, параллельная оси . Проекция тела на плоскость , т.е. его “основание” – это прямоугольник . Однако, над одной его частью “крышей” служит плоскость , а над другой частью “крыша” – это параболический цилиндр . Поэтому, при сведении двойного интеграла к повторному необходимо разбить на две части.

Лучше спроектировать тело на плоскость . В этой плоскости “основание” данного тела – это параболический сегмент . “Крышей” в этом случае служит плоскость , т.е. .

Итак, имеем для объёма (рис.6)