Рассмотрим в плоскости 
материальную пластину, т.е. некоторую область 
, в которой распределено некое вещество с поверхностной плотностью 
. Тогда, как известно (см. § 1, IV), масса всей пластины есть двойной интеграл по 
от :
Один из примеров вычисления массы приведён в § 3. Рассмотрим ещё один характерный пример.
Пример Вычислить массу прямоугольного равнобедренного тре-угольника с гипотенузой 
. Известно, что плотность 
в любой точке 
треугольника пропорциональна расстоянию от до гипотенузы, а в вершине прямого угла равна 
.
|
.
Уравнения катетов: 
(левый) и
(правый). Таким образом, область можно записать так:
Рис.8
Лучше, однако, записать область иначе:
Далее, по условию 
, т.е. 
. Коэффициент пропорциональности находим из условия
Итак, для искомой массы имеем:
Отметим, что размерность полученного ответа – это размерность массы.
Итак, для искомой массы имеем:
Отметим, что размерность полученного ответа – это размерность массы.
Вычисление координат центра масс пластины
Известно из физики, что, если масса распределена дискретно в отдельных 
точках, то координаты 
центра масс такой системы материальных точек вычисляются по формулам
в которых 
– масса, сосредоточенная в точке 
.
Пусть теперь в плоской области 
имеем непрерывное распределение массы с поверхностной плотностью . Чтобы найти координаты центра масс такой области, поступим обычным образом. Разобьём область на отдельные части 
и выберем точки 
Масса 
, распределенная в 
, приближенно равна 
, где 
– площадь области . Если считать, что вся масса сосредоточена в точке , то придём к дискретному распределению массы, и поэтому
Чтобы получить точные значения для 
и 
, необходим переход к пределу при 
Но три суммы в написанных выше формулах – это интегральные суммы и в пределе дадут интегралы:
Интегралы, стоящие в числителях этих формул, называют статическими моментами области относительно осей 
и 
соответственно.
Тройные интегралы
Повторный интеграл в пространстве вводится аналогично повторному интегралу на плоскости.
Пусть функция 
непрерывна в правильной области 
, причём 
– правильная область в 
:
Зафиксируем точку 
и проинтегрируем непрерывную функцию 
–функцию одной переменной 
! – по отрезку 
. Очевидно, что полученный интеграл будет зависеть от координат точки 
:
Можно показать, что функция 
– непрерывная. Следовательно, существует повторный интеграл от этой функции по области 
:
или, окончательно,
(3)
Эта конструкция и называется повторным интегралом в 
. Ещё раз заметим, что вычисление такого интеграла производится справа налево! Избегайте грубых ошибок: в пределах интегрирования внутренних интегралов могут быть только внешние переменные.
Очевидно, что кроме рассмотренного порядка интегрирования (сначала по , потом по 
и, наконец, по 
) существуют и другие порядки, причём все они приводят к одному и тому же числу 
.
Пример. Расставить пределы интегрирования в повторном интеграле от функции 
по области ограниченной поверхностями 
, 
, 
, 
.
Решение. Все указанные поверхности – это плоскости: и – координатные, – параллельна координатной 
. Вместе с четвёртой плоскостью они ограничивают некий тетраэдр. Его проекция на 
– это треугольник ограниченный осями , и прямой, которая является проекцией линии пересечения граней 
и . Исключая переменную из этих уравнений, получим уравнение проекции: 
.
Рис.9
Итак, для точек области имеем: 1) абсцисса 
изменяется от 0 до 2; 2) для каждого фиксированного ордината изменяется от 0 до прямой 
, т.е. до 
; 3) аппликата изменяется от плоскости до плоскости , т.е. до 
. Стандартная запись области:
Повторный интеграл имеет вид:
.
Ещё раз напомним: вычисления производятся справа налево!
Криволинейные интегралы
Криволинейный интеграл 1 - го рода. Пусть функция f(x,y) определена и непрерывна в точках дуги АВ гладкой кривой L. Разобьём дугу АВ произвольным образом на n элементарных дуг точками А = А0, А1,…,Аn = В, имеющих длину ∆σ 
, ∆σ 
, …, ∆σ 
. Выберем на каждой элементарной дуге произвольную точку P 
(ξ 
;ηк) и умножим значение функции в точки P на длину соответствующей дуги.
Интегральной суммой для функции f(x,y) по длине дуги АВ называется сумма вида
.
Если при max s 
интегральная сумма имеет определенный конечный предел
I = 
,
то этот предел называется криволинейным интегралом по длине дуги АВ от функции f(x, y) и обозначается следующим образом:
.
Если кривая задана уравнением у = j(х) (а £ х £ в), то
.
Если кривая задана параметрическими уравнениями х = х(t), y = y(t) (a£ t £ b), то
.
Основные свойства криволинейного интеграла 1 - го рода:
1. Криволинейный интеграл 1 - го рода не зависит от направления пути интегрирования: 
.
2. 
.
3. 
к 
, где к - константа.
4. Если К = К1ÈК2, то 
.
Пример. Вычислить интеграл 
, где L - дуга параболы
у2 = 2х от точки (0,0) до точки (4,2 
).
Решение. Здесь линию удобно задать в форме, разрешенной относительно х: х = 
. Тогда х¢ = у и интеграл преобразуется к виду 
= 
= 
.
Криволинейный интеграл 2 - го рода. Пусть функции Р(х,у) и Q(x,y) непрерывны в точках дуги АВ гладкой кривой АВ. Интегральной суммой для функций Р(х,у) и Q(x,y) по координатам называется сумма вида
,
где Dк и Dк - проекции дуги на оси Ох и Оу.
Криволинейным интегралом по координатам от выражения Р(х,у)dx+ +Q(x,y)dy по направленной дуге АВ называется предел интегральной суммы при условии, что max Dх 
и max Dу :
.
Если кривая задана уравнением у = j(х) (а £ х £ в), то
.
Если кривая задана параметрическими уравнениями х = х(t), y = y(t) (a£ t £ b), то
.
Основные свойства криволинейного интеграла 2 - го рода. Криволинейный интеграл 2 - го рода меняет знак на противоположный при изменении направления пути интегрирования:
.
Остальные свойства аналогичны свойствам интеграла 1 - го рода.
Пример Вычислить интеграл 
, принимая за линию L:
1) отрезок прямой, соединяющий точки О (0,0) и А(1,1);
2) дугу параболы у = х2, соединяющей эти же точки.
Решение:
1. Уравнение линии интегрирования у = х. Следовательно, dy = dx и 
= 
.
2. у = х2, dy = 2xdx и = 
= 
=
.
Криволинейные интегралы по замкнутому множеству обозначим символом 
В случае замкнутого контура на плоскости направление обхода, при котором область, ограниченная контуром, остается слева (обход контура совершается против хода часовой стрелки), называется положительным.
Формула Грина. Если функции Р(х,у) и Q(х,у) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в области Д, то имеет место формула
,
где L - граница области Д, и интегрирование вдоль L производится в положительном направлении.
Пример 7. Применяя формулу Грина, вычислить интеграл 
, где L - контур прямоугольника с вершинами
О (0,0), А(5,0), В(5,4) и С(0,4).
Решение. Так как Р(х,у) = х2+у2, Q(x,y) = (х+у)2, то 
. Таким образом 
= = 
= I, Д - область прямоугольника ОАВС (рис.17).
Вычислим двойной интеграл по данной области Д:
Д= 
. I= 
.