Классификация точек разрыва функции

СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ФУНКЦИЙ

Пусть при x → a функции f(x) и g(x) являются бесконечно малыми. Тогда будем пользоваться следующими определениями.

1. Если , то f(x) называется бесконечно малой высшего порядка, чем g(x) (относительно g(x)).

2. Если , то функции f(x) и g(x) называются бесконечно малыми одногопорядка.

3. Если , то f(x) называется бесконечно малой k-го порядка относительноg(x).

Если , то функции f(x) и g(x) называются эквивалентными бесконечно малыми. В этом случае обе функции стремятся к нулю примерно с одинаковой скоростью. Эквивалентные бесконечно малые будем обозначать f ≈ g.

5. Таблица эквивалентно малых функций, с доказательством каждой из них. Поскольку в этой таблице мы всегда будем рассматривать базу , для простоты записи обозначение этой базы будем пропускать и писать знак вместо .!1) . Эту формулу мы уже доказали и использовали в примерах. Эквивалентность sinx и x при означает в точности, что первый замечательный предел равен 1.

!2) . Эта эквивалентность тоже была доказана выше в одном из примеров.

3) . Докажем эту эквивалентность:

!4) . Докажите это в качестве упражнения, сделав замену и применив предыдущую табличную формулу.

!5 ). Для доказательства воспользуемся формулой . Далее, имеем:

Это означает, что доказываемая эквивалентность имеет место.

6) . Для доказательства этой эквивалентности сделаем такое преобразование:

Для вычисления предела правой части воспользуемся непрерывностью логарифма и вторым замечательным пределом:

и мы доказали формулу 6.

В частном случае, при a=e, получаем эквивалентность

6)

7) (). Для доказательства сделаем замену и выразим x через z: .Согласно формуле 6, при , откуда . Из непрерывности логарифма следует, что и, значит, при . В этой формуле осталось лишь сменить обозначение переменного z на x, чтобы получить формулу 7.

В частном случае, при a=e, получаем эквивалентность

!7)

Сведём теперь полученные формулы в итоговую таблицу. Всюду в ней. 1).

Непрерывность функции в точке

Пусть функция f (x) определена в некоторой окрестности O (x 0) точки x 0 (включая саму точку x 0). Функция f (x) называется непрерывной в точке x 0, если существует lim x → x 0 f (x), равный значению функции f (x) в этой точке:

Классификация точек разрыва функции

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке Существуют левосторонний предел и правосторонний предел ; Эти односторонние пределы конечны.

При этом возможно следующие два случая: Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу: Такая точка называется точкой устранимого разрыва. Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу: Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов называется скачком функции.

Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Непрерывна при x = a.		Имеет разрыв при x = a.
Непрерывна при x = a.		Имеет разрыв при x = a.