Необходимое условие экстремума функции одной переменной.

Определение 1. Точка называется точкой локального максимума (минимума), а значение функции в ней – локальным максимумом (локальным минимумом) функции , если существует -окрестность точки такая, что в любой точке имеем (соответственно, ).

Определение 2. Точка называется точкой строгого локального максимума (минимума), а значение функции в ней – строгим локальным максимумом (локальным минимумом) функции , если существует -окрестность точки такая, что в любой точке имеем (соответственно, ).

Определение 3. Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума, а значения функции в них – локальными экстремумами функции.

Теорема 1. (необходимое условие локального экстремума функции). Если функция дифференцируема в точке и имеет в этой точке локальный экстремум, то .

Доказательство. По условию теоремы существует конечная производная . Так как функция имеет в точке локальный экстремум, то она не может в этой точке ни возрастать, ни убывать. Значит, производная не может быть ни положительной, ни отрицательной. Тем самым доказано, что . ■

Теорема 1 имеет очень простой геометрический смысл: она утверждает, что если в той точке кривой , в которой достигается локальный экстремум, существует касательная к этой кривой, то эта касательная обязательно параллельна оси Ох

Определение 4. Точки, которых производная функции обращается в нуль, называются стационарными точками функции

Определение 5. Точки, которых производная функции не существует, но в них определена, называются критическими точками функции

Нахождение асимптот графика функции одной переменной.

Определение 11 (вертикальная асимптота). Прямая x = a называется вертикальной асимптотой графика функции y = f(x), если хотя бы один из пределов

limx® a+0f(x) или limx® a-0f(x)

равен +Ґ или -Ґ.

Пример 14. График функции y = 1/(x-2) имеет вертикальную асимптоту x = 2, так как limx® 2+01/(x-2) = +Ґ, limx® 2-01/(x-2) = -Ґ (рис.28).

Определение 12 (наклонная асимптота). Говорят, что прямая y = kx+b является наклонной асимптотой графика функции y = f(x) при x® +Ґ, если f(x) имеет вид

f(x) = kx+b+a (x),

где limx® +Ґa (x) = 0.

Справедлива

Теорема 13 (существование асимптот). Для того чтобы график функции y = f(x) имел при x® +Ґ асимптоту y = kx+b, необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела

limx® +Ґf(x)/x = k, limx® +Ґ(f(x)-kx) = b.

Доказательство.

Необходимость. Пусть график функции y = f(x) имеет при x® +Ґ асимптоту y = kx+b, то есть для f(x) имеет вид

f(x) = kx+b+a(x),

тогда

limx® +Ґf(x)/x = (kx+b+a(x))/x = k,

limx® +Ґ(f(x)-kx) = limx® +Ґ(b+a(x)) = b.

Достаточность. Пусть существуют пределы, фигурирующие в условии теоремы. Тогда величина f(x)-kx-b является бесконечно малой при x® +Ґ. Обозначив f(x)-kx-b = a(x) получим, что f(x) имеет асимптоту согласно определению наклонной асимптоты.

Замечание. Аналогично определяется наклонная асимптота и доказывается теорема 13 при x® -Ґ.

Замечание. Если k=0 в определении наклонной асимптоты, то наклонная асимптота является горизонтальной.