Синтез приоритетов на иерархии

Иерархический синтез используется для взвешивания собственных векторов матриц парных сравнений альтернатив весами критериев (элементов), имеющихся в иерархии, а также для вычисления суммы по всем соответствующим взвешенным компонентам собственных векторов нижележащего уровня иерархии. Ниже рассматривается алгоритм иерархического синтеза с учетом обозначений, принятых в предыдущей иерархии (см.рис. 2.1).

Шаг 1. Определяются векторы приоритетов альтернатив относительно элементов Eⁱ_j предпоследнего уровня иерархии (i=S). Здесь через Eⁱ_j, обозначены элементы иерархии, причем верхний индекс i указывает уровень иерархии, а нижний индекс j— порядковый номер элемента на уровне. Вычисление множества векторов приоритетов альтернатив W^A_S относительно уровня иерархии S осуществляется по итерационному алгоритму, реализованному на основе соотношений (2.2) и (2.3) по исходным данным, зафиксированным в матрицах попарных сравнений. В результате определяется множество векторов:

W^A_S={ , ,…, }

Шаг 2. Аналогичным образом обрабатываются матрицы попарных сравнений собственно элементов Е',. Данные матрицы построены таким образом, чтобы определить предпочтительность элементов определенного иерархического уровня относительно элементов вышележащего уровня, с которыми они непосредственно связаны. Например, для вычисления векторов приоритетов элементов третьего иерархического уровня (см.рис. 2.1) обрабатываются следующие три матрицы попарных сравнений:

В матрицах через n_j, обозначен вес, или интенсивность, E_j-го элемента.

В результате обработки матриц попарных сравнений определяется множество векторов приоритетов элементов:

W^E={ }

Полученные значения векторов используются впоследствии при определении векторов приоритетов альтернатив относительно всех элементов иерархии.

Шаг 3. Осуществляется собственно иерархический синтез, заключающийся в последовательном определении векторов приоритетов альтернатив относительно элементов Eⁱ_j, находящихся на всех иерархических уровнях, кроме предпоследнего, содержащего элементы E^S_j. Вычисление векторов приоритетов проводится в направлении от нижних уровней к верхним с учетом конкретных связей между элементами, принадлежащими различным уровням. Вычисление проводится путем перемножения соответствующих векторов и матриц.

Общий вид выражения для вычисления векторов приоритетов альтернатив определяется следующим образом:

= [ … ] ,

где

— вектор.приоритетов альтернатив относительно элемента E_j^i-1, определяющий j-й столбец матрицы;

— вектор приоритетов элементов E₁^i-1, E₂^i-1,…, E_n^i-1 связанных с элементом E_jⁱвышележащего уровня иерархии.

Ниже приведен конкретный пример по вычислению векторов приоритетов альтернатив относительно элементов третьего (E_j³), второго (E_j²) и первого (E_j¹) уровней иерархии с учетом конкретных связей между элементами иерархии (см.рис. 2.1).

Определение векторов приоритетов альтернатив для элементов второго уровня осуществляется следующим образом:

= [ ]

= [ … ]

= [ … ]

Результирующий вектор приоритетов альтернатив относительно корневой вершины иерархии Е₁¹ вычисляется следующим образом:

= [ … ]

Рассмотренная модификация МАИ может эффективно применяться при решении широкого класса социально-экономических и управленческих задач.