Сначала находим определитель матрицы.
Если с пониманием сего действа плоховато, ознакомьтесь с материалом Как вычислить определитель.
Важно! В том случае, если определитель матрицы равен НУЛЮ – обратной матрицы НЕ СУЩЕСТВУЕТ.
В рассматриваемом примере, как выяснилось, 
, а значит, всё в порядке.
2) Находим матрицу миноров 
Для решения нашей задачи не обязательно знать, что такое минор, однако, желательно ознакомиться со статьей Как вычислить определитель.
Матрица миноров имеет такие же размеры, как и матрица 
, то есть в данном случае 
.
Дело за малым, осталось найти четыре числа и поставить их вместо звездочек.
Возвращаемся к нашей матрице 
Сначала рассмотрим левый верхний элемент
Как найти его минор?
А делается это так: МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент:
Оставшееся число и является минором данного элемента, которое записываем в нашу матрицу миноров:
Рассматриваем следующий элемент матрицы :
Мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит данный элемент:
То, что осталось, и есть минор данного элемента, который записываем в нашу матрицу:
Аналогично рассматриваем элементы второй строки и находим их миноры:
Готово.
– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .
3) Находим матрицу алгебраических дополнений 
Это просто. В матрице миноров нужно ПОМЕНЯТЬ ЗНАКИ у двух чисел:
Именно у этих чисел, которые я обвел в кружок!
– матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .
И всего-то лишь…
4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений
.
Что такое транспонирование матрицы, и с чем это едят, смотрите в лекции Действия с матрицами.
|
|
– транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .
Ответ.
Вспоминаем нашу формулу 
Всё найдено!
Таким образом, обратная матрица:
Ответ лучше оставить в таком виде. НЕ НУЖНО делить каждый элемент матрицы на 2, так как получатся дробные числа. Более подробно данный нюанс рассмотрен в той же статье Действия с матрицами.
Как проверить решение?
Необходимо выполнить матричное умножение 
либо 
Проверка:
Получена так называемая единичная матрица (с единицами по главной диагонали и нулями в остальных местах).
Таким образом, обратная матрица найдена правильно.
Переходим к более распространенному на практике случаю – матрице «три на три».
Пример:
Найти обратную матрицу для матрицы 
Алгоритм точно такой же, как и для случая «два на два».
Обратную матрицу найдем по формуле: 
, где 
– транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы 
.
Находим определитель матрицы.
Здесь определитель раскрыт по первой строке.
Также не забываем, что 
, а значит, всё нормально – обратная матрица существует.
2) Находим матрицу миноров
Матрица миноров имеет размерность «три на три» 
, и нам нужно найти девять чисел.
Я подробно рассмотрю парочку миноров:
Рассмотрим следующий элемент матрицы:
МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент:
Оставшиеся четыре числа записываем в определитель «два на два»
Этот определитель «два на два» и является минором данного элемента. Его нужно вычислить:
Всё, минор найден, записываем его в нашу матрицу миноров:
|
|
Как Вы, наверное, догадались, необходимо вычислить девять определителей «два на два». Процесс, конечно, муторный, но случай не самый тяжелый, бывает хуже.
Ну и для закрепления – нахождение еще одного минора в картинках:
Остальные миноры попробуйте вычислить самостоятельно.
Окончательный результат:
– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .
То, что все миноры получились отрицательными – чистая случайность.
3) Находим матрицу алгебраических дополнений 
В матрице миноров необходимо СМЕНИТЬ ЗНАКИ строго у следующих элементов:
В данном случае:
– матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .
4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений.
– транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .
5) Ответ:
Проверка:
Таким образом, обратная матрица найдена правильно.
Как оформить решение на чистовик? Примерный образец чистового оформления задания можно найти на странице Правило Крамера. Метод обратной матрицы в параграфе, где идет речь о матричном методе решения системы линейных уравнений. По существу, основная часть упомянутой задачи – и есть нахождение обратной матрицы.
Нахождение обратной матрицы для матрицы «четыре на четыре» не рассматриваем, так как такое задание может дать только преподаватель-садист (чтобы студент вычислил 1 определитель «четыре на четыре» и 16 определителей «три на три»). В моей практике встретился только один такой случай, и заказчик контрольной работы заплатил за мои мучения довольно дорого =).
|
|
В ряде учебников, методических указаниях можно встретить несколько другой подход к нахождению обратной матрицы, но я Вам рекомендую пользоваться именно вышеизложенным алгоритмом решения. Почему? Потому-что вероятность запутаться в вычислениях и знаках – гораздо меньше.