Ряды с неотрицательными членами




Теорема 1. (критерий сходимости ряда с неотрицательными членами)

Если ϵ N , то для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена сверху, т.е. : ϵ N t wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/></w:rPr><m:t>k</m:t></m:r></m:sub></m:sSub><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:fareast="Times New Roman" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/></w:rPr><m:t>≤M</m:t></m:r></m:e></m:nary></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> .

Заметим, что возрастающая последовательность, т.к. . Осталось воспользоваться теоремой о возрастающей последовательности.

Теорема 2. (интегральный признак сходимости ряда).

Если функция неотрицательная и убывает на , то ряд и интеграл сходятся или расходятся одновременно.

Обозначим , ϵ N . Т.к. убывает при , то она интегрируема на и ar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> ϵ выполняется:

. Тогда . Просуммируем эти неравенства для , получим или .

a) Если интеграл сходится, то , причем, т.к. , то , тогда , т.е. ограничена сверху. По Т1, ряд сходится.

б) Если ряд сходится, то (т.к. . Тогда

ϵ N т.к. , то последовательность возрастает. И т.к. она ограничена сверху, то , т.е. интеграл сходится.

 

Теорема. (признак сравнения)

Если ϵ N , то из сходимости ряда следует сходимость а из расходимости следует расходимость .

Следствие. Если и s w:val="28"/></w:rPr><m:t>n</m:t></m:r></m:sub></m:sSub><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:fareast="Times New Roman" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/></w:rPr><m:t>&gt;0</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> для ϵ N и при (т.е. = 1), то ряды и сходятся или расходятся одновременно.

Теорема. (признак Даламбера)

Пусть дан ряд , где ϵ N. Тогда:

1) Если ϵ (0) и номер : , то ряд сходится.

2) Если ϵ N: , то ряд расходится.

a) По условию, s New Roman" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/></w:rPr><m:t>в?™q</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> , ,…, ϵ N.

Т.к. сходится (см. пример ранее), то сходится ряд А значит сходится ряд , полученный добавлением к последнему .

б) Из условия следует, что , , и так далее. Значит, , причем . Тогда . Значит, ряд расходится.

Следствие. (признак Даламбера в предельной форме).

Если , то ряд сходится при

.

Замечание. При признак не дает ответа. Действительно, и

Теорема. (признак Коши).

Пусть дан ряд , где ϵ N. Тогда:

1)Если (0;1) и номер , то ряд сходится.

2) Если N , то ряд расходится.

a) Из условия следует, что , где 0 . Из сходимости следует сходимость следовательно (по 2 свойству сходимости рядов).

б) Если , то следовательно s w:val="28"/></w:rPr><m:t>n</m:t></m:r></m:sub></m:sSub><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:fareast="Times New Roman" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/></w:rPr><m:t>↛0.</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> Ряд расходится.

Следствие. (признак Коши в предельной форме).

Если , то при ряд сходится, а при ряд расходится.

При признак не дает ответа.

Если интеграл расходится, то и ряд расходится (от противного: если бы ряд сходился, то по ранее доказанному и интеграл то же бы сходился). Аналогично из расходимости ряда следует расходимость интеграла.

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2019-03-27 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: