Введение
В данной работе будут рассмотрены следующие вопросы:
1) «Аттрактор динамической системы»
2) «Основные типы целочисленных аттракторов для Динамических систем с размерностью больше двух»
Аттра́ктор (англ. attract — привлекать, притягивать) — компактное подмножество фазового пространствадинамической системы, все траектории из некоторой окрестности которого стремятся к нему при времени, стремящемся к бесконечности. Аттрактором может являться притягивающая неподвижная точка (к примеру, в задаче о маятнике с трением о воздух), периодическая траектория (пример — самовозбуждающиеся колебания в контуре с положительной обратной связью), или некоторая ограниченная область с неустойчивыми траекториями внутри (как у странного аттрактора).
Существуют различные формализации понятия стремления, что приводит к различным определениям аттрактора, задающим, соответственно, потенциально различные множества (зачастую — вложенные одно в другое). Наиболее употребительными определениями являются максимальный аттрактор (зачастую — в своей малой окрестности, см. ниже), аттрактор Милнора и неблуждающее множество.
Аттракторы классифицируют по:
Формализации понятия стремления: различают максимальный аттрактор, неблуждающее множество, аттрактор Милнора, центр Биркгофа, статистический и минимальный аттрактор.
Регулярности самого аттрактора: аттракторы делят на регулярные (притягивающая неподвижная точка, притягивающая периодическая траектория, многообразие) и странные (нерегулярные — зачастую фрактальные и/или в каком-либо сечении устроенные как канторово множество; динамика на них обычно хаотична).
Локальности («притягивающее множество») и глобальности (здесь же — термин «минимальный» в значении «неделимый»).
Также, есть известные «именные» примеры аттракторов: Лоренца, Плыкина, соленоид Смейла-Вильямса, гетероклинический аттрактор (пример Боуэна).
1.Аттрактор динамической системы.
Аттрактором динамических систем связанных с параболическим уравнениемобозначим через A глобальный аттрактор системы.
(G) Для негиперболической точки покоя p0
системы существуют такие окрестность U и числа C > 0 и l > 0, что для любой точки x ∈ U, для которой (t,x) ∈ U при 0 < t < τ, справедлива оценка
dist((t,x),A) ≤ Ct + dist−l(x,A)−1/l
при 0 < t < τ.
Все эти условия выполнены для ограничения бесконечномерной эволюционной системы, порожденной задачей Чэфи-Инфанте в критическом случае, на ее инерциальное многообразие.
Далее предполагается, что система удовлетворяет всем семи условиям (A)-(G), описанным выше. Введено отношение “стрелка” на парах точек покоя системы, аналогичное соответствующему отношению для систем Купки-Смейла, и доказано несколько вспомогательных утверждений о поведении траекторий системы в окрестностях точек покоя.
Порождающее дискретную динамическую систему S. Для этой дискретной системы в доказана локальная экспоненциальная оценка скорости сходимости траекторий к аттрактору в окрестности гиперболической неподвижной точки.
Основное утверждение– глобальная полиномиальная оценка скорости сходимости траекторий системы к аттрактору в терминах величины начального приближения. Обозначим через Br(A) открытую r-окрестность аттрактора A.
Теорема 4.1. Существуют числа r > 0, K ≥ 1, C > 0 и l > 0, такие что для любой точки x ∈Br(A) справедлива оценка:
dist(ϕ(t,x),A) ≤ K Ct + dist−l(x,A)−1/l
при t ≥ 0.
Также в §4 установлена существенность условия трансверсальности (условия (F)) для существования полиномиальной оценки скорости сходимости решений к аттрактору.
Регулярные и странные аттракторы Динамических систем
Рассмотренные примеры иллюстрируют типичные предельные множества траекторий на фазовой плоскости: состояния равновесия, периодические движения и особые траектории типа сепаратрисных контуров. Указанные предельные множества полностью исчерпывают возможные ситуации на фазовой плоскости. Им отвечают три различных типа решений уравнений.
Движения диссипативных систем целесообразно разделить на два класса: класс переходных, не- стационарных движений, отвечающих релаксации от начального к предельному множеству состояний, и класс установившихся стационарных движений, фазовые траектории которых целиком принадлежат предельным множествам. Важными с физической точки зрения являются притягивающие предельные множества – аттракторы.
С течением времени произвольное начальное состояние из некоторой области притяжения G, включающей в себя аттрактор G0, релаксирует к G0. Движение, которому отвечает фазовая траектория в области притяжения, есть переходной процесс.
Установившееся движение характеризуется принадлежностью фазовых траекторий предельному множеству, то есть аттрактору G0. К чему может привести повышение размерности системы, например до N = 3, то есть выход с плоскости в трехмерное фазовое пространство? Совсем недавно, до начала 60-х годов, с увеличением раз- мерности фазового пространства диссипативных систем связывали возможность появления (в дополнение к указанным выше) лишь квазипериодических аттракторов, соответствующих движениям на p-мерных торах.
Важным результатом исследований последних лет явилось обнаружение принципиально новых типов движений в динамических системах. Таким движениям в фазовом пространстве размерности соответствуют сложным образом устроенные притягивающие множества, траектории изображающих точек которых не принадлежат ни к одному из описанных выше типов аттракторов.
Фазовые траектории представляются здесь в виде бесконечной, нигде не пересекающейся линии. При t ∞ траектория не покидает замкнутой области и не притягивается к известным типам аттракторов [2–6]. Именно с существованием таких траекторий связывают возможность хаотического поведения детер- минированных динамических систем с размерностью фазового пространства N $ 3.
Впервые подобные свойства динамической системы в 1963 году обнаружил Э. Лоренц при численном исследовании динамики трехмерной модели тепловой конвекции. Спустя восемь лет в теоретической работе Д. Рюэля и Ф. Такенса притягивающая область в фазовом пространстве динамической системы, характеризуемая режимом установившихся непериодических колебаний, была названа странным аттрактором.
Этот термин был сразу воспринят исследователями и утвердился для обо- значения математического образа режима нерегулярных колебаний детерминированных динамических систем [2–6]. Аттракторы в виде состояний равновесия, пре- дельных циклов или l-мерных торов называют простыми или регулярными, подчеркивая тем самым, что движения на них отвечают сложившимся представлениям об устойчивом по Ляпунову детерминированном поведении динамической системы.
Со странным аттрактором связывается реализация не- регулярного (в смысле отсутствия периодичности) колебательного режима, который во многом сходен с нашими представлениями о стационарных случайных процессах. Термин случайный имеет вполне определенный смысл.
Случайное движение непредсказуемо либо предсказуемо с определенной вероятностью. Другими словами, траектории случайного движения нельзя многократно и однозначно воспроизвести ни в численном, ни в физическом эксперименте. Примером служит классическое движение броуновской частицы. В случае странного аттрактора имеется строгая предсказуемость в смысле детерминированности закона эволюции. Решение уравнений (как и для регулярных аттракторов) подчиняется теореме единственности и однозначно воспроизво- дится при фиксированных начальных условиях. Поэтому для обозначения сложных “шумоподобных” автоколебаний, математическим образом которых служит странный аттрактор, используются термины типа динамическая стохастичность, де- терминированный хаос и подобные.
Важно отличать эти процессы от стохастических в классическом смысле, которые при описании требуют учета флуктуаций в исходных динамических уравнениях либо непосредственно подчиняются уравнениям для плотности распределения вероятностей статистической теории [2, 5]. Примером системы с хаотическим аттрактором являются уравнения генератора с инерционной не- линейностью (генератора Анищенко–Астахова). Эта система является обобщением уравнений Ван дер Поля на случай трехмерного пространства [2]: (27) x˙ = mx y xz + –, y˙ = –x, z˙ = –gzgI x()x 2 +, равновесия, периодическое движение, квазипериодическое движение и хаотическое. Этим типам решений соответствуют аттракторы системы в виде устойчивого равновесия, предельного цикла, квазипериодического аттрактора (p-мерного тора) и хаотического (или странного) аттрактора. Важным является то, что простейшие типы квазипериодических и хаотических аттракторов могут реализовываться в динамических системах с размерностью фазового пространства не менее трех.