1. Задача из сборника «Занимательных и приятных математических задач» (автор Баше де Мезириак, 1612 г.).
Военный отряд подходит к берегу реки, но оказывается, что мост сломан, а брода нет. У берега два мальчика играют в лодке, но в такой маленькой, что она может выдержать только двоих детей или одного взрослого. Каким образом отряд из 358 человек переправится на другой берег с помощью этой лодки, вернув ее в конце переправы мальчикам? Сколько раз лодка проплывет от берега до берега?
2. Сколько различных перестановок можно образовать из букв слова «абракадабра»?
3. Сейф запирается на замок, состоящий из 5 дисков, на каждом из которых изображены цифры 0, 1, 2, …, 9. Замок открывается, если на дисках набрана одна определенная комбинация цифр. Хватит ли 10 дней на открытие сейфа, если «рабочий день» продолжается 13 часов, а на набор одной комбинации цифр уходит 5 секунд?
4. Для освещения зала может быть включена каждая из имеющихся 10 ламп. Сколько существует различных способов освещения зала?
5. Сколько диагоналей имеет выпуклый n-угольник?
6. На первой из двух параллельных прямых лежит 10 точек, на второй – 20. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?
7. Четыре автора должны написать книгу из 17 глав, причем первый и третий должны написать по 5 глав, второй – 4, а четвертый – 3 главы книги. Сколькими способами можно распределить главы между авторами?
8. Известно, что крокодил имеет не более 68 зубов. Доказать, что среди 1617 крокодилов может не оказаться двух крокодилов с одним и тем же набором зубов.
9. Сколько различных десятизначных чисел можно написать, используя цифры 1 и 2?
10. Буквы азбуки Морзе представляют собой набор точек и тире. Сколько букв может быть в азбуке Морзе, если буква не должна содержать более 4 знаков?
|
|
11. Автомобильные номера состоят из трех букв (всего используется 30 букв) и четырех цифр (используются все 10 цифр). Сколько автомобилей можно занумеровать таким образом, чтобы никакие два автомобиля не имели одинакового номера?
12. Сколько различных двузначных чисел можно образовать из цифр 1, 2, 3, 4 при условии, что в каждом числе нет одинаковых цифр?
13. Сколько различных двузначных чисел можно образовать из цифр 1, 2, 3, 4?
14. Из цифр 0, 1, 2, 3 составлены всевозможные четырехзначные числа так, что в каждом числе нет одинаковых цифр. Сколько получилось чисел?
15. Сколькими способами можно составить расписание занятий на понедельник, если в этот день должно быть пять занятий: по математике, экономической теории, экономике предприятия, немецкому и английскому языкам, причем немецкий и английский языки не должны следовать непосредственно друг за другом?
16. Сколькими способами можно раздать 28 костей домино четырем игрокам так, чтобы каждый получил 7 костей?
17. Хоккейная команда состоит из 2 вратарей, 7 защитников и 10 нападающих. Сколькими способами тренер может образовать стартовую шестерку, состоящую из вратаря, двух защитников и трех нападающих?
18. Сколько существует шестизначных чисел, все цифры которых нечетны (1, 3, 5, 7, 9)?
19. На конференции должны выступить докладчики А, В, С и D, причем В не может выступать раньше А. Сколькими способами можно установить очередность выступлений?
20. На полке стоят m книг в черных переплетах и n книг в синих переплетах, причем все книги разные. Сколькими способами можно расставить книги так, чтобы книги в черных переплетах стояли рядом?
|
|
21. В алфавите племени Бум-Бум шесть букв. Словом является любая последовательность из шести букв, в которой есть хотя бы две одинаковые буквы. Сколько слов в языке племени Бум-Бум?
| 22. У одного человека было 21 дерево. Деревья были посажены в форме треугольника (На рисунке деревья находятся в точках пересечения прямых). Если владелец деревьев захочет огородить какой-нибудь треугольный участок своей земли с деревьями по углам, то сколькими способами он сможет это сделать? | 
|
23. Клерки фирмы «Пилкинс энд Попинджей» решили, что они каждый день будут садиться по трое за один и тот же стол до тех пор, пока какие-либо 3 человека не будут вынуждены сесть за этот стол вторично. Такое же число клерков фирмы «Рэдсон, Робсон энд Росс» решили проделать то же самое, но только не по 3, а по 4 человека. Когда они начали осуществлять свой план, то обнаружилось, что клерки второй фирмы могут продолжать пересаживаться ровно втрое дольше, чем их соседи. Какое наименьшее число клерков могло служить в каждой из двух фирм?
Ответы к дополнительным задачам по теме «Комбинаторика»
1. Дети переправляются на другой берег. Один из них там остается, а другой возвращается с лодкой. Потом переправляется один солдат и посылает обратно лодку с мальчиком. Таким образом, чтобы переправить на другой берег одного взрослого, лодка должна 4 раза проплыть от берега до берега. Поэтому ей пришлось сделать 4∙358=1432 рейса, чтобы переправить 358 человек, причем лодка в конце концов снова оказалась у детей. 2. 83160 3. Может не хватить 4. 1023 5. n(n-3)/2 6. 2800 7. 171531360 9. 1024 10. 30 букв 11. 27×107 автомобилей 12. 12 13. 16 14. 18 15. 72 16. 28!/(7!)4 17. 5040 способов 18. 15625 19. 12 способов 20. (n+1)!∙m! 21. 66-6! слов 22. 1216 способов 23. 15 клерков
[1] Sylvester (1814-1897) – английский математик
[2] Биномиальные коэффициенты – коэффициенты в разложении бинома Ньютона:
(a+b)n=an+an-1b+…+an-mbm+…+bn