Иррациональные уравнения

Рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения

В заданиях В7 предложены несложные рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические или тригонометрические уравнения.

При выполнении операций над любыми уравнениями, которые могут привести к новому уравнению, неравносильному исходному уравнению, помните, что:

1) сокращение обеих частей уравнения на множитель, содержащий неизвестное, может привести к потере корней уравнения;

2) при возведении обеих частей уравнения в квадрат (вообще в четную степень), а также при умножении на множитель, содержащий неизвестное и обращающийся в нуль при действительных значениях неизвестного, могут появляться посторонние корни.

Рациональные уравнения

Уравнение f(x) = g(x) называется рациональным, если f(x) и g(x) – рациональные выражения. Если f(x) и g(x) – целые выражения, то уравнение называется целым. Например, целыми являются линейные, квадратные уравнения.

Если же хотя бы одно из выражений f(x), g(x) является дробным, то рациональное уравнение f(x) = g(x) называется дробным (или дробно-рациональным).

В7. Найдите корень уравнения . Решение: ; В бланк ответов: В7 -

Пример 1 (Линейное уравнение).

Пример 2 (Квадратное уравнение).

В7.Найдите корень уравнения х2 - 13х + 36 = 0. Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них. Решение: Здесь а = 1, b = -13, с = 36. Имеем 2 корня, которые найдем по формуле: Итак, т.е. -корни заданного уравнения. Меньший из них 4. В бланк ответов: В7

 

Чтобы решить дробно-рациональное уравнение, нужно:

1) найти общий знаменатель всех имеющихся дробей;

2) заменить данное уравнение целым, умножив обе его части на общий знаменатель;

3) решить полученное целое уравнение;

4) исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Уравнения, примеры 1-11

Содержание

Пример 3 (Дробно-рациональное уравнение).

В7.Найдите корень уравнения Решение: Умножим обе части уравнения на х- 6, получим: х+36 = -5(х-6), х+36 = -5х +30, х+5х = 30-36, 6х = -6, х = -1.Осталось проверить, обращает ли найденный корень в нуль выражение х-6, т.е. проверить выполнение условия х-6 0. -1-6 = -7, значит, х = -1 является корнем уравнения. В бланк ответов:В7 -

Пример 4 (Дробно-рациональное уравнение).

В7. Найдите корень уравнения . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них. Решение: Умножим обе части уравнения на х- 10, получим: х(х-10) = -7х+40, х2-10х = -7х+40, х2-10х +7х-40=0, х2-3х -40=0, где а = 1, b = -3, с = -40. Имеем 2 корня, которые найдем по формуле: Итак, т.е. -корни заданного уравнения. Осталось проверить, обращают ли найденные корни в нуль выражение х-10, т.е. проверить выполнение условия х-10 0. 8 - 10 = -2; - 5 – 10 = -15, значит, являются корнями уравнения. Меньший из них -5. В бланк ответов: В7 -

Иррациональные уравнения

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком радикала (корня), называется иррациональным.

Рассмотрим решение простейших иррациональных уравнений вида или методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень:

1) возводим обе части заданного уравнения в п -ю степень: или ;

2) учитывая, что получим уравнение f(x)= (g (x)) ^п или f(x)=С^п;

3) решаем уравнение и делаем проверку, так как возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень может привести к появлению посторонних корней. Эта проверка чаще всего осуществляется с помощью подстановки найденных значений переменной в исходное уравнение.

Уравнения, примеры 1-11

Содержание

Пример 5.

В7.Найдите корень уравнения Решение: Возведем обе части уравнения в шестую степень, получим х – 3 = 64, откуда х = 67. Проверка. Подставив 67 вместо х в исходное уравнение, получим т.е. 2 = 2 – верное равенство. Значит, х = 67- корень данного уравнения. В бланк ответов: В7

 

В7.Найдите корень уравнения Решение: Возведем обе части уравнения в куб, получим х + 10 = 125, откуда х = 115. Проверка. Подставив 115 вместо х в исходное уравнение, получим т.е. 5= 5 – верное равенство. Значит, х = 115- корень данного уравнения.   В бланк ответов: В7

Пример 6.

Пример 7.

В7.Найдите корень уравнения . Решение: Возведем обе части уравнения в квадрат, получим 5 х + 6 = 36, 5 х = 36 - 6; 5 х = 30; х = 6. Проверка. Подставив 6 вместо х в исходное уравнение, получим , т.е. 6 = 6 – верное равенство. Значит, х = 6 - корень данного уравнения.   В бланк ответов:В7

Пример 8.

В7.Найдите корень уравнения . Решение: Возведем обе части уравнения в квадрат, получим 24 - 4 х = 16, х = 2. Проверка. Подставив 2 вместо х в исходное уравнение, получим , т.е. 4 = 4 – верное равенство. Значит, х = 2 - корень данного уравнения.   В бланк ответов: В7

Пример 9.

В7.Найдите корень уравнения . Решение: Возведем обе части уравнения в квадрат, получим , 6 – 5 х = 36, х = - 6. Проверка. Подставив -6 вместо х в исходное уравнение, получим , т.е. – верное равенство. Значит, х = -6 - корень данного уравнения. -                   В бланк ответов: В7

Уравнения, примеры 1-11

Содержание

Пример 10.

В7.Найдите корень уравнения . Решение: Возведем обе части уравнения в квадрат, получим -24 – 5 х = 16, х = -8. Проверка. Подставив -8 вместо х в исходное уравнение, получим , т.е. 4 = 4 – верное равенство. Значит, х = -8 - корень данного уравнения. В бланк ответов:В7 -

Пример 11.

В7.Найдите корень уравнения Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них. Решение: Возведем обе части уравнения в квадрат, получим х = х 2 - 4 х + 4, х 2 – 4 х - х + 4= 0, х 2 – 5 х + 4= 0, а = 1, b = -5, с = 4. Имеем 2 корня, которые найдем по формуле: Итак, т.е. -корни заданного уравнения. Проверка. Подставив 4 вместо х в исходное уравнение, получим , 2 = 2 – верное равенство. Следовательно, 4 является корнем уравнения. Подставив 1 вместо х в исходное уравнение, получим 1 = -1 – неверное равенство. Следовательно, 1 не является корнем уравнения. Говорят, что это посторонний корень. В бланк ответов: В7

Пример 12.

В7. Найдите корень уравнения Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них. Решение: Возведем обе части уравнения в квадрат, получим - 42 - 13 х = х2, откуда следует, что х 2 + 13х +42 = 0, где а = 1, b = 13, с = 42. Имеем 2 корня, которые найдем по формуле: Итак, т.е. - корни заданного уравнения. Проверка. Подставив -6 вместо х в исходное уравнение, получим 6 = 6 – верное равенство. Подставив -7 вместо х в исходное уравнение, получим 7 = 7 – верное равенство. Значит, х = -6, х = -7 - корни данного уравнения. Меньший из них - 7. В бланк ответов: В7

Уравнения, примеры 12-23

Содержание

Показательные уравнения

Уравнение, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным.

Рассмотрим решение простейшего показательного уравнения , где , методом уравнивания показателей:

1) преобразовать заданное уравнение к виду ;

2) решить равносильное уравнение f(x) = g(x).

Пример 13.

В7.Найдите корень уравнения. Решение: ; ; ; ; х + 6 = - 3 х; х + 3 х = - 6; 4 х = - 6; х = - 1,5. В бланк ответов: В7 -     ,

Пример 14.

В7. Найдите корень уравнения 7 = 49. Решение: 7 = 49; 7 = 7²; х - 2 = 2; х = 4. В бланк ответов: В7

Пример 15.

В7.Найдите корень уравнения. -                   Решение: 2-2х = 4; х = -1. В бланк ответов: В7

Пример 16.

В7. Найдите корень уравнения . Решение: ; 2-х = 3; х = -1. В бланк ответов: В7

Пример 17.

В7.Найдите корень уравнения =49. Решение: = 49; ; 7 - х = -2; х = 9. В бланк ответов: В7

Пример 18.

В7. Найдите корень уравнения . Решение: ; 14-5 х = -6; х = 4. В бланк ответов: В7

Уравнения, примеры 12-23

Пример 19.

В7.Найдите корень уравнения 5 = . Решение: 5 = ; 5 = 5 ; 4 х - 6 = -2; х = 1 В бланк ответов: В7

Пример 20.

В7. Найдите корень уравнения 7 = . Решение: 7 = ; 7 = 7 ; 17 - х = -2; х = 19. В бланк ответов: В7

Пример 21.

В7. Найдите корень уравнения . Решение: ; х - 11 = 2; х = 13. В бланк ответов: В7

Пример 22.

В7. Найдите корень уравнения Решение: Сделаем замену переменной t = , тогда . Данное уравнение принимает вид t2 + 4t – 5 = 0. Найдем его корни: 2 корня, , . Решаем уравнения: 1) ; ; х = 0. 2) уравнение решений не имеет, т.к. область значений функции у = - множество положительных чисел. Значит, х = 0 – корень уравнения В бланк ответов: В7

Уравнения п -й степени

Уравнение, содержащее переменную в основании степени, называется уравнением п -й степени.

Рассмотрим решение простейшего уравнения п -й степени методом уравнивания показателей:

1) преобразовать заданное уравнение к виду , где ;

2) решить равносильное уравнение f(x) = с.

Уравнения, примеры 12-23

Содержание

Пример 23.

В7. Найдите корень уравнения (х+4) = 243. -                   Решение: (х+4) = 243; (х+4) = 3 ; х+4 = 3; х = -1. В бланк ответов: В7

Пример 24.

В7.Найдите корень уравнения(х - 6) = 1000. Решение: (х - 6) = 1000; (х - 6) = 10 ; х - 6= 10; х = 16. В бланк ответов: В7