Логарифмические уравнения

Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим.

Чтобы решить простейшие логарифмические уравнения вида , нужно: 1) решить уравнение ;

2) из найденных корней отобрать те, которые удовлетворяют неравенствам и остальные корни уравнения являются посторонними для уравнения .

Определение логарифма и простейшие свойства логарифмов и степеней в разделе «Задания В11:вычисления значений выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции» (стр.92).

Пример 25.

В7.Найдите корень уравнения Решение: Перейдем от заданного уравнения к уравнению х + 6 = 4х – 9, откуда х - 4х = – 9 – 6, - 3х = – 15, х = 5. Проверку найденного значения х выполним с помощью неравенств и . Число 5 этим неравенствам удовлетворяет. Значит, 5 –корень данного уравнения. В бланк ответов: В7

Пример 26.

В7.Найдите корень уравнения Решение: Используя свойства и , получим , . Перейдем от полученного уравнения к уравнению 5 + х = 4(4 - х), откуда 5+ х = = 16 – 4х, 5х = 11, х = 2,2. Проверку найденного значения х выполним с помощью неравенств 5+ и . Число 2,2 этим неравенствам удовлетворяет. Значит, 2,2 –корень данного уравнения. В бланк ответов: В7   ,

Пример 27.

В7.Найдите корень уравнения . Решение: Перейдем от заданного уравнения к уравнению 8 - х = 5, откуда х = 3. Проверку найденного значения х выполним с помощью неравенства . Число 3 этому неравенству удовлетворяет. Значит, 3 –корень данного уравнения. В бланк ответов: В7

Уравнения, примеры 24-35

Пример 28.

В7.Найдите корень уравнения Решение: Используя свойство логарифмов , получим Перейдем от полученного уравнения к уравнению 8 - 5х = 32, откуда - 5х = 9 – 8, -5х = 1, х = -0,2. Проверку найденного значения х выполним с помощью неравенства . Число -0,2 этому неравенству удовлетворяет. Значит, -0,2 –корень данного уравнения. -   ,               В бланк ответов: В7

Простейшее логарифмическое уравнение имеет одно решение. Из определения логарифма сразу следует, что является таким решением.

Пример 29.

В7.Найдите корень уравнения log (х-5) = 2. Решение: Используя определение логарифма ,получим В бланк ответов: В7

Пример 30.

В7.Найдите корень уравнения log = 2. Решение: Используя определение логарифма ,получим В бланк ответов: В7

Пример 31.

В7.Найдите корень уравнения log (8- х) = 2. Решение: Используя определение логарифма ,получим В бланк ответов: В7 -

Пример 32.

В7. Найдите корень уравнения log (6-х) = -2. Решение: Используя определение логарифма ,получим В бланк ответов: В7 -

 

Уравнения, примеры 24-35

Содержание

Тригонометрические уравнения

Простейшие тригонометрические уравнения cos x = a, sin x = a, tg x = a, ctg x = a

имеют бесконечно много корней.

Решения уравнений по общим формулам:

1) cos x = a, где , находят по формуле ;

2) sin x = a, где , находят по формуле ;

3) tg x = a находят по формуле ;

4) ctg x = a находят по формуле .

В некоторых случаях удобнее пользоваться частными формулами:

5) sin x = 0, 6) sin x = 1, 7) sin x = -1, 8) cos x = 0, 9) cos x = 1, 10) cos x = -1, 11) tg x = 0, 12) ctg x =0,

Таблица некоторых значений тригонометрических функций дана в разделе «Задания В8: вычисление элементов прямоугольного треугольника» (стр. 63).

Пример 33.

В7. Найдите корень уравнения .В ответе запишите наибольший отрицательный корень. Ответ округлите до сотых. Решение: Воспользовавшись формулой(1),получим: . Так как ,то получаем ; . Очевидно, что при п = 0 получим наименьший положительный и наибольший отрицательный корни:, , Отсюда наибольший отрицательный корень -1,05. В бланк ответов: В7 -   ,

Уравнения, примеры 24-35

Содержание

Пример 34.

В7. Найдите корень уравнения .В ответе запишите наибольший отрицательный корень. Ответ округлите до десятых. Решение: Воспользовавшись формулой(3),получим: . -   ,               Так как , то получаем , Очевидно, что при п = -1 получим наибольший отрицательный корень, т.е. х -2,0933… -2,1. В бланк ответов: В7

Пример 35.

В7. Найдите корень уравнения .В ответе запишите наименьший положительный корень. Ответ округлите до десятых. Решение: Воспользовавшись формулой(2),получим: . Так как ,то получаем , . Очевидно, что при п = 0 получим наименьший положительный корень, т.е. х 0,785 0,8. В бланк ответов: В7   ,

Пример 36.

В7. Найдите корень уравнения .В ответе запишите наименьший положительный корень. Ответ округлите до сотых. Решение: Воспользовавшись формулой(4),получим: . Так как ,то получаем , Очевидно, что при п = 1 получим наименьший положительный корень, т.е. х 2,0933… 2,09. В бланк ответов: В7   ,

 

В7. Найдите корень уравнения .В ответе запишите наименьший положительный корень. Ответ округлите до сотых. Решение: Воспользовавшись формулой(1),получим: . Так как ,то получаем ; ; ; ; . Очевидно, что при п = 0 получим наименьший положительный и наибольший отрицательный корни: х -0,9158...; 1,7008… - 0,92; 1,70. Отсюда наименьший положительный корень 1,70.   ,                 В бланк ответов: В7

Пример 37.

Пример 38.

В7. Найдите корень уравнения .В ответе запишите наибольший отрицательный корень. Решение: Воспользовавшись формулой(1),получим: . Так как ,то получаем ; .Умножая обе части уравнения на ,получим: ; ; . При п = 1 х = 0; 0,5; при п = 0 х = -1,5; -1. Значит, наибольший отрицательный корень -1. В бланк ответов: В7 -

Уравнения, примеры 36-40

Содержание

Пример 39.

В7. Найдите корень уравнения .В ответе запишите наименьший положительный корень. Ответ округлите до десятых. Решение: Преобразуем исходное уравнение:; ; ; . Воспользовавшись формулой(2),получим: ; . Так как ,то получаем ; ;умножим обе части равенства на 2: ; . Очевидно, что при п = 1 получим наименьший положительный корень: . В бланк ответов: В7   ,

Пример 40.

В7. Найдите корень уравнения .В ответе запишите наименьший положительный корень.Решение: Воспользовавшись формулой(2),получим: . Так как ,то получим ; .Умножая обе части уравнения на ,получим: ; ; . При п = -2 ; при п = -1 ; при п = 0 . Значит, наименьший положительный корень 1,5.В бланк ответов: В7   ,

Уравнения, примеры 36-40