Линейные, квадратные уравнения
К середине первого тысячелетия до н.э. в ряде стран Средиземноморского бассейна происходил процесс накопления значительного конкретно-математического материала, включавшего приемы арифметических действий, вычисление площадей и объемов и проч.[1] Древний Вавилон (совокупность государств, располагавшихся в междуречье тигра и Евфрата от 2000 до 200 гг. н.э.) не являлся исключением, и за период его существования до нашего времени дошло примерно 200 глиняных математических таблиц с нанесенными на них клиновидными надписями[2]. Их содержание наглядно демонстрирует существование многих единообразных правил арифметических действий как с целыми числами, так и с дробями[3]. Необходимо отметить, что вавилонские математические тексты носили, как правило, учебный характер. При этом вавилонская техника счета была значительнее совершеннее египетской, а круг решаемых задач - существенно шире. В частности, линейные и квадратные уравнения решались ещё в эпоху Хаммурапи. Для этой цели использовалась геометрическая терминология (так, произведение ab называлось площадью, abc — объёмом, и т.д.). Многие значки для одночленов были шумерскими, из чего можно сделать вывод о древности этих алгоритмов. Они употреблялись в качестве буквенных обозначений, неизвестных в нашей алгебре. Кроме того, в математике Древнего Вавилона встречались целые системы линейных уравнений. Как и в египетских текстах, на конкретных примерах был представлен только сам алгоритм решения при отсутствии комментариев и доказательств. Стоит отметить, что необходимость решать линейные уравнения не только первой, но и второй степени в Древнем Вавилоне была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков, а также с земляными работами военного характера, с развитием астрономии и самой математики. Кроме того, вавилоняне умели решать квадратные уравнения примерно за 2000 лет до нашей эры. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и полные квадратные уравнения. Однако, несмотря на довольно высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений. При рассмотрении уровня развития математических знаний Древнего Египта, следует отметить, что современные ученые знают о нем гораздо меньше, чем о математике Вавилона. Вероятно, он был развит лучше, чем можно представить, исходя из дошедших до нас документов, что подтверждается тем, что даже греческие математики учились у египтян[4]. Математика в Египте носила исключительно прикладной характер. В целом современные представления об уровне развития арифметических знаний в этой стране базируются в основном на материалах двух больших папирусов математического содержания (в Москве, и Лондоне – папирус Райнда, по имени ученого, обнаружившего его), а также двух небольших отрывках[5]. Ко времени составления данных документов здесь сложилась десятичная иероглифическая система счисления, позволявшая производить расчеты целых чисел[6]. Решению линейных уравнений в Древнем Египте соответствовала операция, именовавшаяся «хау», что в переводе означает «куча». Данный вид представлял собой уравнения первой степени с одной неизвестной[7]. В Древнем Египте, как и в Вавилоне использовался так называемый метод ложного положения (или «фальшивое правило»).В данном случае линейные уравнения первой степени с одним неизвестным всегда можно привести всегда к виду ах + b == с, в котором а, b, с — целые числа. По правилам арифметических действий ах = с — b. Однако, если b> с, то с — b есть число отрицательное. При этом отрицательные числа были неизвестны египтянам и многим другим более поздним народам (как и положительные числа, они стали употребляться в математике только в XVII в.). В частности, на папирусе Ахмеса 15 задач решается именно этим методом[8]. В целом, при сравнении математических наук Египта и Вавилона по способу мышления, можно заключить, что они имеют общность по таким характеристикам, как авторитарность, некритичность, следование за традицией, крайне медленная эволюция знаний. В этой связи исследователь Э. Кольман отмечал, «в этом месте, где воля деспота считалась законом, не было места для мышления, доискивающегося до причин и обоснований явлений, ни тем более для свободного обсуждения»[9]. Анализируя материалы по математике Древнего Востока, можно заключить, что все приобретенные знания ограничивались сведениями, которые нужно было применять при решении конкретных хозяйственных задач. В сохранившихся документах не содержится общих правил,отсутствуют обобщения и доказательства. Несмотря на присутствие в древних текстах решений линейных и квадратных уравнений, нельзя констатировать тот факт, что в Вавилоне и Египте существовала математика как наука. Скорее, наблюдался процесс накопления математических знаний, который способствовал в более поздние времена развитию науки.