Приведём другое решение. Примечание.

Заметим, что

Воспользуемся методом рационализации:

 

Ответ:

Критерии проверки:

Задание 15 № 508535

Решите неравенство:

Решение.

Преобразуем неравенство:

Рассмотрим два случая.

а)

Эта система решений не имеет.

б)

 

Ответ:

Критерии проверки:

Задание 15 № 508539

Решите неравенство:

Решение.

Последовательно получаем:

 

Ответ:

Критерии проверки:

Задание 15 № 508541

Решите неравенство:

Решение.

Решим первое неравенство системы:

 

Ответ:

Критерии проверки:

Задание 15 № 508544

Решите неравенство:

Решение.

Преобразуем неравенство, используя свойства логарифма:

 

 

Ответ:

Критерии проверки:

Задание 15 № 508546

Решите неравенство:

Решение.

Решим неравенство, используя теорему о знаке логарифма:

 

Ответ:

Критерии проверки:

Задание 15 № 508547

Решите неравенство:

Решение.

Значения при которых определено первое неравенство: Рассмотрим два случая.

Первый случай: Получаем, что Тогда

Второй случай: Получаем, что следовательно, при первое неравенство исходной системы верно.

Таким образом, решение неравенства:

 

Ответ:

Критерии проверки:

Задание 15 № 508550

Решите неравенство:

Решение.

Значения при которых определено первое неравенство: и Рассмотрим два случая.

Первый случай: Получаем, что Тогда

Второй случай: Получаем, что следовательно, при первое неравенство исходной системы верно.

Таким образом, решение неравенства:

 

Ответ:

Критерии проверки:

Задание 15 № 508551

Решите неравенство:

Решение.

Значения при которых определено неравенство: и Рассмотрим два случая.

Первый случай: Получаем, что Тогда:

Второй случай: Получаем, что следовательно, при неравенство верно.

 

Ответ:

Критерии проверки:

Задание 15 № 508553

Решите неравенство:

Решение.

Воспользуемся свойствами логарифма:

Сделаем замену

Если то

Если то

Значит, решение данного неравенства или

 

Ответ:

Критерии проверки:

Задание 15 № 508558

Решите неравенство:

Решение.

Последовательно получаем:

Сделаем замену

Тогда или откуда или

 

Ответ:

Критерии проверки:

Задание 15 № 508560

Решите неравенство:

Решение.

Рассмотрим два случая.

Первый случай:

Откуда, учитывая условие получаем: или

Второй случай:

Учитывая условие получаем: или

Множество решений неравенства:

 

Ответ:

Критерии проверки:

Задание 15 № 508565

Решите неравенство:

Решение.

Воспользуемся свойствами логарифма:

Сделаем замену

Вернёмся к исходной переменной.

Первый случай:

Второй случай:

Итак, решение неравенства: или

 

Ответ:

Критерии проверки:

Задание 15 № 508570

Решите неравенство:

Решение.

Заметим, что выражение, стоящее под знаком логарифма, не меньше 1:

При положительных значениях переменной справедливы неравенства: и а значит,

и

Тем самым, неравенство выполнено в том и только в том случае, когда оба выражения равны нулю.

Следовательно,

 

Ответ:

Критерии проверки:

Задание 15 № 508572

Решите неравенство:

Решение.

Решим неравенство:

Сделаем замену

Тогда или откуда находим решение неравенства: или

 

Ответ:

Критерии проверки:

Задание 15 № 508574

Решите неравенство:

Решение.

Рассмотрим два случая.

Первый случай:

В первом случае решений нет.

Второй случай:

Решение неравенства:

 

Ответ:

Критерии проверки:

Задание 15 № 508576

Решите неравенство:

Решение.

Преобразуем неравенство:

 

Пусть тогда неравенство примет вид:

Рассмотрим два случая. Первый случай:

Второй случай:

Решение неравенства:

 

Ответ:

Критерии проверки:

Задание 15 № 508578

Решите неравенство:

Решение.

Преобразуем неравенство:

 

 

Ответ:

Критерии проверки:

Задание 15 № 508579

Решите неравенство

Решение.

Неравенство имеет смысл при и Первое неравнство верно при При этих значениях переменной числитель дроби во втором неравенстве положителен, значит, положителен и знаменатель. Следовательно,

Заметим, что При эта сумма больше 1. Тогда и основание, и аргумент выражения больше 1, а значит, левая часть исходного неравенства положительна. Тогда положительна и правая часть, откуда

При обе части неравенства положительны, а аргументы логарифмов равны и больше 1. Значит, основание логарифма, стоящего в левой части неравенства, не меньше основания логарифма, стоящего в правой. На луче имеем:

Тем самым,

 

Ответ:

 

Примечание.

В решении использованы известные свойства логарифмов: если то: и

Критерии проверки:

Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 05.03.2015 ва­ри­ант МА10309.

Задание 15 № 509065

Решите неравенство

Решение.

Данное неравенство равносильно неравенству

Пусть тогда и, следовательно,

Далее имеем: откуда

 

Ответ: {1}.

Критерии проверки:

Источник: Пробный эк­за­мен по математике Санкт-Петербург 2015. Ва­ри­ант 2.

Задание 15 № 509581

Решите неравенство

Решение.

Преобразуем неравенство:

Сделаем замену Получаем:

Сделаем обратную замену: Тогда

откуда x = −0,5.

 

Ответ: −0,5.

Критерии проверки:

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 22.04.2015 ва­ри­ант МА10409.

Задание 15 № 509928

Решите неравенство

Решение.

Преобразуем неравенство:

Сделаем замену Получаем:

Сделаем обратную замену: Тогда

откуда

 

Ответ:

Критерии проверки:

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 22.04.2015 ва­ри­ант МА10410.

Задание 15 № 511218

Решите неравенство

Решение.

Ограничения на x: x > 0; x ≠ 1.

 

 

Ответ:

Критерии проверки:

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 122.

Задание 15 № 511232

Решите неравенство

Решение.

Найдем ограничения на x.

В логарифмах перейдем к основанию 3. Будем иметь: Пусть тогда:

Последнее неравенство решим методом интервалов.

 

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 124.

Задание 15 № 511246

Решите неравенство

Решение.

Найдем ограничения на x.

Далее заданное неравенство будем рассматривать только на множестве M = (−∞; 1)∪(1; 2)∪(2; 3)∪(3; 4)∪(5;+∞).

 

На M:

 

 

 

Последнее неравенство решим методом интервалов.

 

 

С учетом ограничений на х получим множество решений исходного неравенства: (1; 2)∪(2; 3)∪[ 3,5; 4)∪(5; +∞).

 

Ответ:

Критерии проверки:

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 126.

Задание 15 № 511253

Решите неравенство

Решение.

Найдем ограничения на x.

Далее неравенство будем решать методом рационализации и будем его рассматривать только на множестве

На M: x + 3 > 0, (x − 1)² > 0. Следовательно,

Окончательно:

 

Ответ:

Критерии проверки:

Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния задания	Баллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих не­ра­вен­ствах ис­ход­ной системы.
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в одном не­ра­вен­стве ис­ход­ной системы. ИЛИ получен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошибки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния си­сте­мы неравенств.
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из критериев, пе­ре­чис­лен­ных выше.
Максимальный балл

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 127.

Задание 15 № 511267

Решите неравенство

Решение.

Найдем ограничения на x:

 

Заданное неравенство мы будем рассматривать только на множестве

 

 

Далее решение поведем на M методом интервалов.

 

Интервалы
Знак выражения	−	+	−	+

 

Ответ:

Критерии проверки:

Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния задания	Баллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих не­ра­вен­ствах ис­ход­ной системы.
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в одном не­ра­вен­стве ис­ход­ной системы. ИЛИ получен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошибки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния си­сте­мы неравенств.
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из критериев, пе­ре­чис­лен­ных выше.
Максимальный балл

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 129.

Задание 15 № 512483

Решите неравенство

Решение.

Запишем неравенство в виде

Любое решение неравенства удовлетворяет системе

откуда

Для таких x имеем неравенство

Замена: Получаем откуда z > 0. Обратная замена:

 

Ответ: (3; 4).

Критерии проверки:

Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния задания	Баллы
Обоснованно по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунктах.
Обоснованно по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а или пунк­те б, ИЛИ получен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошибки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния урав­не­ния и от­бо­ра корней
Решение не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из критериев, пе­ре­чис­лен­ных выше.

Задание 15 № 512485

Решите неравенство

Решение.

Запишем неравенство в виде

Любое решение неравенства удовлетворяет системе

откуда

Для таких x имеем неравенство

Замена: Получаем откуда z > 0. Обратная замена:

 

Ответ: (2; 3).

Критерии проверки:

Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния задания	Баллы
Обоснованно по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунктах.
Обоснованно по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а или пунк­те б, ИЛИ получен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошибки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния урав­не­ния и от­бо­ра корней
Решение не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из критериев, пе­ре­чис­лен­ных выше.

Задание 15 № 513257

Решите неравенство

Решение.

Заменим получим Определим область допустимых значений:

Решаем с помощью метода декомпозиции, то есть представляем логарифм в виде

получим неравенство:

Расставим точки на числовой прямой и определим знаки данного выражения на каждом из промежутков:

Учитывая область допустимых значений, получим ответ:

 

 

Ответ:

Критерии проверки:

Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния задания	Баллы
Обоснованно по­лу­чен вер­ный ответ.
Обоснованно по­лу­чен ответ, от­ли­ча­ю­щий­ся от вер­но­го толь­ко ошиб­ка­ми в стро­го­сти неравенства: < вме­сто ≤, или наоборот. Если в ответ вклю­че­но зна­че­ние переменной, при ко­то­ром одна из ча­стей не­ра­вен­ства не имеет смысла, то сле­ду­ет вы­став­лять оцен­ку «0 баллов». ИЛИ получен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошибки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов решения.
Решение не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из критериев, пе­ре­чис­лен­ных выше.
Максимальный былл:

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2016 г.

Задание 15 № 513274

Решите неравенство

Решение.

Определим область допустимых значений:

Таким образом x ∈ (−2; 1) ∪ (1; 2).

Воспользуемся функцией перехода логарифма к другому основанию, получим:

И учитывая правило декомпозиции где множитель можно сразу отбросить, получим

откуда следует, что

 

Ответ: x ∈ (−2; −1] ∪ (1; 2).

Критерии проверки:

Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния задания	Баллы
Обоснованно по­лу­чен вер­ный ответ.
Обоснованно по­лу­чен ответ, от­ли­ча­ю­щий­ся от вер­но­го толь­ко ошиб­ка­ми в стро­го­сти неравенства: < вме­сто ≤, или наоборот. Если в ответ вклю­че­но зна­че­ние переменной, при ко­то­ром одна из ча­стей не­ра­вен­ства не имеет смысла, то сле­ду­ет вы­став­лять оцен­ку «0 баллов». ИЛИ получен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошибки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов решения.
Решение не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из критериев, пе­ре­чис­лен­ных выше.
Максимальный былл:

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2016 г.

Задание 15 № 484578

Решите неравенство

Решение.

Перейдем к основанию 3 и упростим левую часть неравенства:

Обозначим тогда Решим неравенство методом интервалов:

Тогда

Ответ:

Критерии проверки:

Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния задания	Баллы
Обоснованно по­лу­чен вер­ный ответ.
Допущена еди­нич­ная ошибка, возможно, при­вед­шая к не­вер­но­му ответу, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов решения.
Решение не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из критериев, пе­ре­чис­лен­ных выше.

Задание 15 № 484582

Решите неравенство

Решение.

Чтобы был определен логарифм по основанию это выражение должно быть положительно и отлично от 1. Находим: откуда Упростим неравенство:

Заметим, что причем равенство достигается только при

При получаем:

Выделим полный квадрат в основании логарифма: Это выражение больше 1 при всех допустимых

Таким образом,

Тогда откуда Учитывая, что и получаем

Ответ:

 

Критерии проверки:

Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния задания	Баллы
Обоснованно по­лу­чен вер­ный ответ.
Допущена еди­нич­ная ошибка, возможно, при­вед­шая к не­вер­но­му ответу, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов решения.
Решение не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из критериев, пе­ре­чис­лен­ных выше.

Задание 15 № 484581

Решите неравенство

Решение.

Заметим, что

1. и обращается в ноль только при то есть и при

2. при и

3.

4. и при то есть при

Следовательно, при имеем:

 

Откуда с учетом выколотых точек, получаем или

 

Ответ:

Критерии проверки:

Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния задания	Баллы
Обоснованно по­лу­чен вер­ный ответ.
Допущена еди­нич­ная ошибка, возможно, при­вед­шая к не­вер­но­му ответу, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов решения.
Решение не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из критериев, пе­ре­чис­лен­ных выше.

Задание 15 № 485947

Решите неравенство

Решение.

Решение ищем на множестве:

Пусть тогда

Значит, или

С учетом рассмотренных выше ограничений получаем множество решений исходного неравенства:

 

Ответ:

Критерии проверки:

Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния задания	Баллы
Обоснованно по­лу­чен вер­ный ответ.
Допущена еди­нич­ная ошибка, возможно, при­вед­шая к не­вер­но­му ответу, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов решения.
Решение не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из критериев, пе­ре­чис­лен­ных выше.

Задание 15 № 484583

Решите неравенство

Решение.

Запишем неравенство в виде:

Сделаем замену и приведем левую часть к общему знаменателю:

Решением полученного неравенства является множество Возвращаясь к переменной , находим множество решений исходного неравенства:

 

Ответ:

Критерии проверки:

Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния задания	Баллы
Обоснованно по­лу­чен вер­ный ответ.
Допущена еди­нич­ная ошибка, возможно, при­вед­шая к не­вер­но­му ответу, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов решения.
Решение не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из критериев, пе­ре­чис­лен­ных выше.

Задание 15 № 513685

Решите неравенство

Решение.

Область определения неравенства задается условиями откуда получаем На этом множестве и данное неравенство равносильно неравенству

которое, в свою очередь, равносильно неравенству

Положив где получаем неравенство Заметим, что при функция возрастает (произведение двух положительных возрастающих функций) и Таким образом, множество решений этого неравенства является луч

Далее имеем:

 

Ответ:

Критерии проверки:

Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния задания	Баллы
Обоснованно по­лу­чен вер­ный ответ.
Обоснованно по­лу­чен отв< ⇐ Предыдущая12 Поделиться: Поиск по сайту ©2015-2024 poisk-ru.ru Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование. Дата создания страницы: 2019-11-29 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных	 Поиск по сайту: Читайте также: Деталирование сборочного чертежа Когда производственнику особенно важно наличие гибких производственных мощностей? Собственные движения и пространственные скорости звезд Тема 11. Банковские риски и способы их оценки Опросник «Активность повседневной жизни» Интересно: Краткий словарь жестового языка Роль страхования в рыночной экономике Что такое сказка. Цели и задачи сказкотерапии Как научиться хорошо стрелять в CSS? Обратная связь