Занятие №63-64.
Тема: Формулы приведения.
Цель: Научиться применять формулы приведения при нахождении значений тригонометрических функций любых углов и применять их при преобразовании тригонометрических выражений.
Ход занятия.
Проверка домашней работы.
Почему-то многие из вас решили, что конспект писать не обязательно?! А ведь практически на каждом занятии вводятся новые тригонометрические формулы, правила и т. д. Впредь прошу основные положения конспекта записывать, а домашние упражнения решать самостоятельно, а не списывать, причём с ошибками, а то почти все работы писаны как под копирку!
2. Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
· формулы приведения;
- мнемоническое правило для формул приведения;
- преобразование тригонометрических выражений на основе использования формул приведения;
- вычисление значений тригонометрических выражений на основе формул приведения;
- доказательство тригонометрические тождества на основе формул приведения;
·
· 3.Теоретический материал для самостоятельного изучения
Для вычисления значений тригонометрических функций углов больше 90⁰ используют формулы приведения. Они позволяют синус, косинус, тангенс и котангенс различных углов приводить к острым углам.
Пример: Вычислить sin750⁰ и cos750⁰ .
Представим число 750⁰=360⁰
.
Рассмотрим точку А(1;0) на единичной окружности. При повороте вокруг начала координат на угол 750⁰ она сделает 2 полных оборота по 360⁰
и ещё повернётся на угол 30⁰
. Переместится в точку В, в которую могла бы попасть, сделав поворот на угол 30⁰
. Значит, sin750⁰=sin30⁰=
, а cos750⁰=cos30⁰=
.
Таким образом, справедливы равенства sin750⁰=sin(360⁰ +30⁰)=sin30⁰, аналогично
|
Cos750⁰=cos(360⁰
Количество полных оборотов по 360 или по 2
может выражаться любым целым числом k, как положительным, так и отрицательным и нулём. При повороте точки А(1;0) на угол2
, где k
получается та же самая точка, что при повороте на угол
Для вычисления углов больше 90⁰ используют формулы приведения. Они позволяют синус, косинус, тангенс и котангенс различных углов приводить к острым углам.
Справедливы равенства:
Sin(, где k
, cos(
, где k
Пусть точка А(1;0) переместилась в точку В1 при повороте на угол 135⁰ и в точку В при повороте на угол 45⁰
(рис. 2).
Рисунок 2 – точки А, В, В1 на единичной окружности
Запишем 135⁰ в виде: 180⁰ - 45⁰. На единичной окружности точки В1 и В симметричны относительно оси Оу, значит их ординаты (синусы) равны, абсциссы (косинусы)- противоположные числа.
Поэтомуsin135⁰=sin(180⁰- 45⁰)=sin45⁰=
, а cos135⁰=cos(180⁰- 45⁰)=-cos45⁰=-
.
А так как 180⁰=
, то справедливы формулы sin(
, cos(
.
Используя формулы сложения, докажем следующие формулы приведения:
Sin( –
Воспользуемся формулой синуса разности и косинуса суммы: sin(
sin
cosα+
Cos sinα=1
и cos(
cos
cos
- sin Формулы доказаны.
Аналогично доказываются и другие формулы приведения и все они связаны следующим правилом: Если в формуле приведения угол равен 90⁰ (синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот), а если угол равен 180⁰
Знак перед приведённой функцией ставится такой, каков знак приводимой функции в соответствующей четверти, считая угол
Это правило можно записать тремя словами: