Числовые характеристики случайной величины

Функция распределения вероятностей

Задача. Найти интегральную функцию распределения случайной величины Х, заданной рядом распределения:

и построить ее график.
Решение. Пусть х ≤ 1, тогда F(x) = 0, так как событие Х < х будет невозможным. Если 1 < х ≤ 2, то на основании равенства (3.2) имеем F(x) = p ₁ = 0,3. Если 2 < х ≤ 3, то F(x) = p ₁ + p ₂ = 0,5.
Если х > 3, то F(x) = p ₁ + p ₂ + p ₃ = 1. Окончательно получаем

График функции F(х) изображен на рис. 3.1.

Рис. 3.1
Задача. Функция распределения случайной величины Х задана выражением

Найти коэффициент α; вероятность попадания значения случайной величины Х в результате опыта в интервал (π/4; 3π/4); построить график функции.
Решение. При х =3 π/4 функция F (x) равна 1, т.е. α∙ sin (3π/4–π/4)+1/2=1, или α∙si n(π/2) + 1/2 = 1. Откуда α = 1/2.
Подставляя а = π/4 и b = 3π/4 в равенство (3.1), получаем
π (π/4 < X <3π/4) = F(3π/4) - F(π/4) = 1/2 × sin(π/2)+1/2–1/2 × sin 0 – 1/2 = 1/2.
График функции у =1/2∙sin(х -π/4)+1/2 отличается от графика функции у = sin х тем, что он «сжат» по оси О у в два раза, сдвинут вправо на π/4, поднят вверх на 1/2. Воспользовавшись этим замечанием, отразим график F(x) (рис. 3.2).

Рис. 3.1
Задача. Средняя продолжительность срока реализации товара (в часах) имеет следующую плотность распределения:
φ(х)=
Вычислить:
а) вероятность того, что товар будет реализован позднее 150 часов;
б) вероятность того, что товар будет реализован позднее 200 часов и в то же время не позднее 300 часов.
Решение. а) Обозначим срок реализации товара через Х. Мы знаем, что Р(Х > 150) = 1 – Р(Х < 150) и что Р(Х < 150) = F (150). В то же время
.

  Следовательно, Р(Х > 150) = 1 – .
б) .

Числовые характеристики случайной величины

Задача. Дискретная случайная величина Х, имеющая смысл числа курьеров, задействованных для доставки корреспонденции в коммерческой организации, задана законом распределения:

Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
Решение. Так как случайная величина является дискретной, то для вычисления М(Х) воспользуемся формулой (3.4). Имеем
М(х) = х ₁ × р ₁ + х ₂ × р ₂ + х ₃ × р ₃ + х ₄ × р ₄ = 0 × 0,4 + 1 ×0,1 + 2 × 0,3 + 3 × 0,2 = 1,3.
Найдем дисперсию D(x). Предварительно найдем математическое ожидание от х ²:
М(х ²) = х ₁² × р ₁ + х ₂² × р ₂+ х ₃² × р ₃+ х ₄² × р ₄ = 0² × 0,4 + 1² × 0,1 + 2² × 0,3 + 3² × 0,2 = 3,1.
Далее по формуле (3.6) получаем
D(X) = 3,1 – 1,3² = 3,1 – 1,69 = 1,41.
Найдем среднее квадратическое отклонение. Имеем
σ(х) = .
Таким образом, среднее число курьеров равно 1,3 со средним разбросом 1,22.
Задача. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения

Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Решение. По определению дифференциальной функции φ(х) = F ¢ (x). Отсюда
В точках х = 0 и х = π функция φ(х) не дифференцируема. По формуле (3.5) получаем

Находим сначала М(Х ²). Имеем

Далее по формуле (3.7) получаем
.

Задача. Случайная величина распределена нормально с параметрами а = 8, σ = 3.Найти вероятность того, что случайная величина в результате опыта примет значение, заключенной в интервале (12,5; 14).
Решение. Воспользуемся формулой (2.12). Имеем

Задача. Число проданного за неделю товара определенного вида Х можно считать распределенной нормально. Математическое ожидание числа продаж тыс. шт. Среднее квадратическое отклонение этой случайной величины σ = 0,8 тыс. шт. Найти вероятность того, что за неделю будет продано от 15 до 17 тыс. шт. товара.
Решение. Случайная величина Х распределена нормально с параметрами а = М(Х) = 15,7; σ = 0,8. Требуется вычислить вероятность неравенства 15 ≤ X ≤ 17. По формуле (2.12) получаем

. Обработка экспериментальных данных

Пример. Для дискретного вариационного ряда вычислить выборочные характеристики

xi
mi
	8/60	17/60	16/60	10/60	6/60	2/60	1/60

Среднее выборочное

Выборочная дисперсия

Выборочное среднее квадратическое отклонение

Исправленная дисперсия