Потребуем, чтобы выполнялось равенство
Заменив Х и s, получим
получим
Задача решена. Число t находят по таблице функции Лапласа Ф(х).
Пример1. СВХ распределена нормально и s =3. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания по выборочным средним, если n = 36 и задана надежность g =0,95.
Из соотношения 2Ф(t)= 0,95, откуда Ф(t) = 0,475 по таблице найдем t: t =1,96. Точность оценки
Доверительный интервал
.
Пример2. Найти минимальный объем выборки, который обеспечивает заданную точность d =0,3 и надежность g = 0,975, если СВХ распределена нормально и s =1,2.
Из равенства
выразим n:
,
подставим значения и получим минимльный объем выборки n ~ 81.
Доверительный интервал для оценки математического ожидания при неизвестном s.
В качестве неизвестного параметра s используют исправленную дисперсию s2. Заменяя s на s, t на величину tg. Значение этой величины зависит от надежности g и объема выборки n и определяется по " Таблице значений tg." Итак:
и доверительный интервал имеет вид
Пример. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания с надежностью 0,95, если объем выборки n =16, среднее выборочное и исправленная дисперсия соответственно равны 20,2 и 0,8.
По таблице приложения найдем tg по заданной надежности g =0,95 и n= 16: tg =2,13. Подставим в формулу s =0,8 и tg =2,13, вычислим границы доверительного интевала:
,
откуда получим доверительный интервал (19,774; 20,626)
Смысл полученного результата: если взять 100 различных выборок, то в 95 из них математическое ожидание будет находится в пределах данного интервала, а в 5 из них- нет.
Доверительный интервал для дисперсии.
Требуется оценить неизвестную генеральную дисперсию и генеральное среднее квадратическое отклонение по исправленной дисперсии, т.е. найти доверительные интервалы, покрывающие параметры D и s с заданной надежностью g.
Потребуем выполнения соотношения
.
Раскроем модуль и получим двойное неравенство:
.
Преобразуем:
.
Обозначим dq = s (величина q находится по "Таблице значений q"и зависит от надежности и объема выборки), д адготоверительный интервал для оценки генерального среднего квадратического отклонения имеет вид:
.
Замечание: Так как s >0, то если q >1, левая граница интервала равна 0:
0< s < s (1 + q).
Пример1. По выборке объема n = 25 найдено "исправленное" среднее квадратическое отклонение s = 0,8. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение с надежностью 0,95.
По таблице приложения по данным: g = 0,95; n =25, находим q = 0,32.
Искомый доверительный интервал 0,8(1- 0,32)< s < 0,8(1+ 0,32) или 0,544<s <0,056.
Пример2. По выборке объема n = 10 найдено s = 0,16. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение с надежностью 0,999.
q(n=10, g =0,999) = 1,8>0.
Искомый доверительный интервал 0< s <0,16(1+1,8) или 0< s <0,448.
Так как дисперсия есть квадрат среднего квадратического отклонения, то доверительный интервал, покрывающий генеральную дисперсию с заданной надежностью g, имеет вид:
