Система двух случайных величин

Пример 1

Независимые случайные величины принимают только целые значения:

– от 1 до 13 с равными вероятностями;
– от 1 до 16 с равными вероятностями.

Найти – вероятность того, что в очередном испытании сумма появившихся чисел будет меньше шести.

Решение:предложенные случайные величины можно ассоциировать с нестандартными игральными костями, на одной из которых 13, а на другой – 16 граней.

Из условия следует, что:
– вероятность того, что случайная величина примет какое-либо значение равна ;
– вероятность того, что случайная величина примет какое-либо значение равна .

Так как случайные величины независимы, то по теореме умножения вероятностей независимых событий, вероятность появления любой пары чисел в очередном испытании постоянна и равна: . Заметьте, что рассмотрение пар уже констатирует тот факт, что мы рассматриваем СИСТЕМУ случайных величин, а не их по отдельности.

Подсчитаем количество пар, соответствующих событию :

сумме соответствует единственная пара ;

сумме – пары ;

сумме – пары

и сумме : .

Итого: 10 нужных пар.

По теореме сложения вероятностей несовместных событий:
– вероятность того, что сумма появившихся чисел будет меньше шести

Ответ:

Но то, конечно, была разминка:

Пример 2

Две независимые дискретные случайные величины и заданы своими законами распределения вероятностей:

Нет, это не опечатка, случайные величины имеют одинаковые законы распределения. Здесь их удобно ассоциировать с двумя одинаковыми и независимо работающими игровыми автоматами, на которых с определенными вероятностями загораются пронумерованные лампочки.

Требуется:

1) Найти закон распределения вероятностей системы случайных величин и вычислить:
– математическое ожидание случайной величины , при условии, что другая величина приняла значение ;
– математическое ожидание случайной величины , при условии .

2) Вычислить – вероятности того, что случайная величина примет значение из соответствующих двумерных областей.

3) Найти закон распределения вероятностей случайной величины . Вычислить математическое ожидание и дисперсию .

4) Вычислить

В реальной работе вам может встретиться и то, и другое, и третье и чётвёртое, поэтому разбираемся во всём осознанно и очень внимательно.

Решение:

1) Составим закон распределения вероятностей системы случайных величин.

«Иксовые» вероятности будем обозначать как обычно:
,
а к «игрековым» вероятностям добавим «птичку»:

Вычисления стандартно начнём с наименьшего «икса» и «игрека». Найдём – вероятность того, что случайная величина примет значение и случайная величина значение . По условию, случайные величины независимы, и коль скоро так, то по теореме умножения вероятностей независимых событий:

Найдём – вероятность того, что :

И так далее. Вычисления удобно проводить на калькуляторе или даже устно, а результаты заносить в таблицу. В качестве ещё одного примера я вычислил и отметил красным цветом вероятность – того, что случайные величины примут значения :

Это и есть закон распределения системы . Не забываем проверить, что сумма всех вероятностей равна единице. Кстати, это ещё не значит, что ошибок нет. Для бОльшей уверенности следует просуммировать вероятности по строкам – в результате должны получиться , т.е. закон распределения случайной величины ; и просуммировать вероятности по столбцам – в результате должны получиться «игрековые» вероятности величины .

Для системы СВ не вводится понятия «общего» математического ожидания, однако можно подсчитать мат ожидания условные – при условии, что одна из величин примет или уже приняла некоторое конкретное значение.

Вычислим – математическое ожидание случайной величины , при условии, что другая величина приняла значение . Так как случайные величины независимы, то распределение случайной величины не зависит от того, какое значение приняла случайная величина . А значит, при любом возможном значении «игрек» условные математические ожидания:
– в точности равны мат ожиданию самой случайной величины .

Логично? Представьте, что на 2-м игровом автомате зажглась лампочка (любая). Ну и что с того? Первый же автомат работает независимо!

Следует отметить, что с зависимыми величинами всё не так, и на следующем уроке мы разберём алгоритм вычисления условного мат ожидания, который формально пригоден и для независимых величин.

Ну а пока нам достаточно найти математическое ожидание , и заодно сразу вычислим дисперсию, она потребуется позже:

Таким образом:

С вероятностью аналогично – представьте, что на «иксовом» игровом автомате зажглась лампочка №4. Ну и что? Это никак не повлияло на «игрековый» автомат и его матожидание, поэтому:
– даже считать не пришлось, т.к. наши случайные величины имеют одинаковые распределения вероятностей.

2) Вычислим вероятность – того, что случайная величина примет значение из области, которую задают неравенства в скобках.

По аналогии с одномерным случаем, это можно сделать с помощью функции распределения вероятностей. Но для двумерной СВ составить такую функцию – не то, чтобы сложное, но весьма кропотливое занятие, и поэтому здесь проще просуммировать вероятности, соответствующие условиям . На рисунке ниже я обвёл их красным цветом, и обратите внимание, что в силу строгости неравенства , строку не следует включать в эту область. Таким образом: – вероятности я привык суммировать по строкам слева направо.

Аналогично, область отграничена синим цветом, и здесь не следует учитывать значение . В результате: – вероятность того, что компонента примет значения, не превосходящее двух, и компонента – значение, меньшее двух.

И с вероятностью всё просто. Поскольку на переменную «икс» не наложено никаких ограничений, то она может быть любой, но вот то, что «игрек» окажется больше четырёх – есть событие невозможное. Поэтому .

Точно по такому же принципу вычисляются вероятности и в случае зависимости случайных величин , . Тут разницы нет.

3) Найдем закон распределения вероятностей случайной величины .

Принципиальным отличием от предыдущих пунктов является то, что здесь речь идёт об одномерной случайной величине. Как получаются её значения? С помощью суммирования случайных значений , которые могут принять величины . И нам нужно перебрать все возможные варианты.

Начать удобно с самой маленькой возможной суммы, её образует пара , в результате чего случайная величина «зет» примет значение с вероятностью:

Может ли сумма равняться трём? Может. Исходу соответствуют пары . По теоремам умножения вероятностей независимых и сложения несовместных событий:

Сумме соответствуют пары и вероятность:

Сумма тоже возможна, и ей соответствуют 4 пары: . Наверное, вы заметили, что вероятности выпадения всех пар уже подсчитана в первом пункте, и, возможно, на практике вам будет удобнее предварительно составить таблицу распределения вероятностей системы . Но, разумеется, можно обойтись и без неё:

Сумме соответствуют пары и вероятность:

Сумме – пары :

и, наконец, сумме – последняя возможная пара :
.

Искомый закон распределения сведём в таблицу и сразу проведём стандартные вычисления для нахождения матожидания и дисперсии:

Обязательно контролируем, что , ну и дальнейшее просто:

4) Вычислим

Начнём с . Как можно поступить? Можно составить закон распределения случайной величины . Паре соответствует значение , паре – значение , паре – значение и так далее…. И далее напрямую вычислить мат ожидание. Но есть путь короче.

Для математического ожидания справедливы следующие свойства:

– математическое ожидание величины, которая принимает единственное значение , равно этому значению. Логично

– постоянный множитель можно вынести за знак матожидания.

– это свойство справедливо как для независимых, так и для зависимых случайных величин. И сразу убедимся в справедливости этого факта. В первом пункте мы вычислили , во втором – :
, что и требовалось проверить.

Таким образом:

Но, следует отметить, что вам может быть предложено и «драконовское» задание, а именно, доказать, что . При такой формулировке таки придётся составить закон распределения случайной величины и вычислить непосредственно.

Едем дальше. С нахождением никаких проблем: в первом пункте мы уже вычислили и по свойствам матожидания:

Энтузиасты могут составить случайную величину , и убедиться в справедливости равенства .

И осталось вычислить .

Для дисперсии справедливы следующие свойства:

– дисперсия постоянной величины равна нулю.

– константу можно вынести за знак дисперсии, возведя её в квадрат. Тоже логично: коль скоро, дисперсия – есть квадратичная величина, то при вынесении постоянного множителя, мы должны «расплатиться» возведением его в квадрат.

Для независимых случайных величин справедливо:
, и сразу проверяем: в пункте 1 мы нашли , и в пункте 2 вычислили: .

Внимание! Для зависимых величин данное равенство неверно! Но об этом в другой раз.

И из последних двух свойств следует парадоксальное на первый взгляд равенство:
, и тут прямо какой-то закон философии получился – когда из хаоса мы пытаемся вычесть другой хаос, то меры этих хаосов только суммируются.

И настал торжественный момент заключительных вычислений нашей большой задачи:

Готово.

Но готовы ли вы?:) Небольшая задачка для самостоятельного решения:

Пример 3

Две независимые дискретные случайные величины и заданы своими законами распределения вероятностей:

Требуется:

1) Найти закон распределения вероятностей системы и вычислить .

Вычисления, кстати, удобно проводить в Экселе – «забиваем» числа и не «забиваем»:)

2) Найти закон распределения вероятностей случайной величины , вычислить и вероятность того, что полученная СВ примет отрицательное значение.

3) Проверить справедливость равенства

В последнем пункте сформулировано ещё одно свойство математического ожидания, которое справедливо только для независимых случайных величин.

Наверное, вы обратили внимание, что во всех задачах этой статьи в условии прямо констатируется независимость случайных величин. Но такого подарка может и не быть, и тогда нам предстоит выполнить самостоятельное исследование. Как его провести? Существуют строгие математические критерии, позволяющие выяснить, зависимы случайные величины или нет, и я приглашаю вас на следующий урок, где мы не только рассмотрим соответствующие примеры, но и узнаем много интересного.

Краткое решение Примера 3:

1) Используя теоремы умножения вероятностей независимых и сложения несовместных событий, составим закон распределения системы :

Суммируя вероятности по строкам, убеждаемся, что получается закон распределения случайной величины , и, суммируя вероятности по столбцам, получаем в точности закон распределения