Оценка и контроль надежности по экспериментальным данным
Математические модели теории вероятности, применяемые для описания процессов возникновения отказов и их устранения, являются результатом аппроксимации экспериментальных данных. Имея модель, можно осуществлять предсказание развития событий с определенной долей вероятности. В нашем случае закон распределения выбирается, исходя из ситуации. Чтобы получить полную модель, достаточно определить значения его параметров. Теоретический расчет параметров законов распределений не всегда возможен, так как необходимо учитывать большое количество исходных данных, как правило, случайных, имеющих собственные законы распределений. Другой путь определения параметров законов распределений – экспериментальный. Он используется как для определения номинальных значений параметров, так и для последующей проверки изделий на соответствие заданным требованиям.
Планирование эксперимента
Экспериментальное исследование изделий на отказоустойчивость проводится путем их лабораторной эксплуатации. В зависимости от целей испытаний и свойства изделий существует несколько разных способов проведения эксперимента. Совокупность условий испытаний и правил принятия решений называется планом испытаний.
Условное обозначение плана испытания состоит из трех величин: объема выборки n, подверженной испытанию, правила замены отказавших изделий и критерия окончания испытания. Буквами Б и В обозначаются планы без восстановления и с восстановлением соответственно. Буква n используется для обозначения плана испытания до выхода из строя всех испытуемых изделий, символ t 0 – ограничение времени испытания и k – окончание испытания после появления k отказов. Например:
[ n, Б, k ] – план без восстановления до появлении k отказов;
[ n, B, t 0] – план с восстановлением продолжительностью t 0 часов;
[10, Б, 1000] – план без восстановления продолжительностью 1000 часов;
[100, В, 10] – план с восстановлением до появления 10 отказов.
Оценка показателей надежности
В результате испытания получают распределение количества отказов во времени, по которому можно определить вид закона распределения, используя критерии согласия (Пирсона или Колмогорова) математической статистики. Следует помнить, что статистическая оценка показателей надежности производится по ограниченной выборке исходных данных об отказах. Форма представления данных может быть либо в виде моментов времени возникновения каждого отказа, либо в виде таблицы соответствия количества отказов определенным промежуткам времени.
Для испытаний по плану «Б» гистограмма, отображающая количество отказов ki, произошедших в пределах элементарного временного отрезка D ti = (ti – ti– 1), на которые разбивается вся продолжительность испытания, отнесенное к числу поставленных на испытание изделий N, есть оценка плотности распределения:
.
Сумма 
= 1, если 
совпадает с N (отказали все испытуемые элементы).
По определению состоятельной несмещенной эффективной оценкой средней наработки на отказ как матожидания является выборочное среднее
,
где 
– суммарная наработка;t i – наработка одного изделия.
Интенсивность отказов показывает процент выхода из строя в пределах элементарного временного интервала
,
где 
– число исправных элементов на начало интервала.
Если интенсивность отказов за время испытания оставалась примерно на одном уровне (l i » l j, для i ¹ j), можно расширить интервал анализа. Произведение числа исправных элементов на продолжительность интервала дает оценку суммарной наработки на интервале. Выполнив суммирование по интервалам отдельно в числителе и в знаменателе (не путать с суммой интенсивностей), получим формулу для оценки интенсивности отказов:
.
При испытания по плану В, это будет точечная оценка параметра потока отказов
– в расчете на одно изделие, или
,
где 
– безотносительно количества изделий.
– точечная оценка среднего времени между отказами в потоке.
Если принять 
, 
, то оценки вероятности отказа и вероятности безотказной работы
, 
,
или в виде непрерывной функции:
, 
,
где k (t) – число отказов с начала испытания.
Тогда интенсивность можно вычислить как отношение плотности вероятности отказа в пределах интервала времени к вероятности безотказной работы к началу интервала:
.
Оценки являются случайными величинами, поскольку принимают разные значения для разных выборок исходных данных. Как и все случайные величины, оценки имеют свои статистические характеристики. В частности, доверительная вероятность a = P (x min £ X £ x max), где x min … x max – доверительный интервал. При больших объемах выборки можно ограничиться точечными оценками, считая их достаточным приближением к генеральному значению. Небольшой объем выборки дает слишком грубое приближение. В этом случае необходимо пользоваться интервальными оценками.
Оценки стремятся к истинным значениям при увеличении объема выборки.
Границы доверительного интервала оценки параметра экспоненциального распределения определяются исходя из объема выборки и заданной доверительной вероятности a:
,
,
где 
– квантиль распределения Пирсона (m – число степеней свободы, k – число отказов).
Когда речь идет о надежности, зачастую пользуются только наибольшим (наименьшим) значением. Например: интенсивность отказов не превышает 0,001 с вероятностью 95 % (использована верхняя граница доверительного интервала).
Зная интенсивность, можно определить среднее время до отказа. Поскольку это величина обратная интенсивности, границы доверительного интервала времени обратны границам интервала интенсивности:
, 
.
Для параметра потока отказов w соотношения идентичны.