Пусть существует поток заявок на замену элементов одного типономинала (одного типа и одного номинала – т.е. адекватные). Пусть в комплекте ЗИПа один элемент. Предположим, что среднее время восстановления элемента ЗИПа равно Т в. Среднее время ремонта T р. Тогда процесс восстановления аппаратуры можно изобразить на диаграмме (рис. 2.10).
Рис. 2.10
На рис. 2.10 t 1, t 2, t 3, t 4 – моменты отказов, Т п2, Т п3 – время ожидания (простоя) из-за отсутствия запасных частей, T хр – время хранения или время простоя элемента.
Математическим аппаратом, описывающим подобные процессы, является теория массового обслуживания.
Системой массового обслуживания (СМО) называется система обслуживания, имеющая в своем составе одну или несколько обслуживающих единиц (каналов обслуживания). На вход системы поступает поток заявок. Каждый канал имеет свою пропускную способность (количество обслуживаемых заявок в единицу времени). Если заявка принята, но все каналы заняты, заявка становится в очередь.
Целью математического моделирования процесса является оптимизация СМО по критерию минимальности времени вынужденного простоя и минимальности времени простоя аппарата обслуживания (времени хранения элементов ЗИПа t хр).
В теории массового обслуживания выводятся формулы для расчета распределения вероятностей простоя заявок и простоя системы обслуживания для различных законов распределения потока заявок, потока восстановления, числа каналов и времени обслуживания. Рассмотрим лишь один случай со следующими допущениями.
1. Предположим, что поток заявок простейший, т.е. обладает свой-ствами ординарности, стационарности и отсутствия последействия. Ординарность – вероятность появления двух и более событий в один и тот же момент времени отсутствует. Стационарность – вероятностные характеристики не зависят от времени. Отсутствие последействия – вероятность возникновения событий не зависит от факта возникновения событий в предыдущие моменты времени.
2. Предположим также, что запрос на восстановление элемента ЗИПа подается в момент его изъятия из ЗИПа, а время непосредственно ремонта мало по сравнению со временем восстановления и им можно пренебречь.
3. Пусть процесс восстановления элементов ЗИПа равномерный, т.е. с экспоненциальным законом распределения с постоянной интенсивностью 
.
Для простейшего потока с постоянной интенсивностью w вероятность поступления k требований за интервал времени D t имеет распределение Пуассона (идентично вероятности появления k отказов за время D t):
.
Допущения о Пуассоновском характере потока требований и о показательном законе распределения времени восстановления позволяют применить аппарат марковских случайных процессов.
Марковским называется процесс в системе, для которого вероятность состояния системы в будущем зависит только от состояния в настоящем, и не зависит от состояния в прошлом.
Во время поступления заявки система из n каналов может находиться в одном из следующих состояний:
x 0 – свободны все n каналов,
x 1 – занят только один канал,
x 2 – занято два канала,
…
xk – занято k каналов,
…
xn – заняты все n каналов.
Обозначим как pk (t) вероятность нахождения системы в состоя- нии xk к моменту времени t. Очевидно, что для любого момента времени
.
Из k -го состояния, в котором заявка застала систему, за малый промежуток времени D t система может перейти в состояние k – 1 (канал освободился) либо k + 1 (пришла еще одна заявка), либо остаться в состоянии k.
Вероятность того, что в момент времени t = t + D t система будет в состоянии k, определяется как вероятность суммы трех событий:
A – система осталась в состоянии k;
B – система перешла из k – 1 (пришла заявка);
C – система перешла из k + 1 (канал освободился);
Рассмотрим вероятность события B.
Вероятность того, что придет одна заявка
.
Вероятность попадания из k – 1 состояния в k есть произведение вероятности нахождения в состоянии k – 1 и вероятности прихода заявки:
P (B) = pk –1(t) w D t.
Рассмотрим вероятность события C.
Вероятность того, что ни один из k + 1 занятых каналов не освободится
.
Вероятность того, что хотя бы один канал освободится, есть событие противоположное:
1 – [1 – (k+ 1) lв D t ] = (k+ 1) lв D t.
Вероятность попадания из k + 1 состояния в k есть произведение вероятности нахождения в состоянии k + 1 и вероятности освобождения канала:
P (C) = pk +1(t) (k + 1) lв D t.
Рассмотрим вероятность события A.
Вероятность того, что не освободится ни один из k каналов и не придет заявка, есть произведение вероятностей этих событий:
.
Вероятность сохранения k -го состояния есть произведение вероятности нахождения в этом состоянии и вероятности отсутствия свободных каналов и заявки:
P (B) = pk (t) [1 – (w + k lв) D t ] = pk (t) – (w + k lв) D t pk (t).
Вероятность несовместных событий A, B и C есть сумма вероятностей их появления:
pk (t + D t) = pk (t) – (w + k lв) D t pk (t) + pk –1(t) w D t + pk +1(t) (k + 1) lв D t.
Перенося pk (t) в левую часть, деля на D t и переходя к пределу D t ® 0, получим дифференциальное уравнение для pk (t).
Вероятность того, что за время D t ни один из каналов не освободится
.
Вероятность того, что придет одна заявка
.
Вероятность попадания системы в n -е состояние
pn (t+ D t) = pn (t) – n lв D t pn (t) + pn –1(t) w D t.
Сведя все уравнения в систему, получим систему дифференциальных уравнений, называемых уравнениями Эрланга [4]:
Уравнения Эрланга описывают поведение системы во времени. Начальные условия для решения системы: p 0 = 1, p 2 = p 3 = … = pn = 0 (все каналы свободны).
При t ® ¥ система переходит в установившийся режим, при котором вероятности p 0(t), p 1(t), …, pn (t) стремятся к постоянным пределам p 0, p 1, …, pn, а их производные к нулю. Выполнив замену, получим систему уже не дифференциальных, а алгебраических уравнений. Решая систему относительно неизвестных вероятностей, получаем:
.
Обозначим 
. Величинаa называется приведенной плотностью потока заявок [4] (или приведенная интенсивность потока заявок). При этом 
.
С учетом 
можно получить выражения для p 0:
,
откуда
,
и, следовательно,
для 0 £ k £ n.
Полученные формулы (система уравнений) для pk называются формулами Эрланга. Они дают предельный закон распределения числа занятых каналов СМО в зависимости от характеристик потока заявок и производительности системы обслуживания. Применительно к комплекту ЗИПа формулы позволяют определить вероятность того, что будет занято k из n элементов ЗИПа одного типономинала.
Основы организации
технического обслуживания
и ремонта бытовой РЭА
Глава 1. Основы организации
Введение
По методам и способам решения задачи организации сервисного обслуживания производителей, присутствующих на российском рынке, можно разделить на 3 группы.
1. Полномасштабное аккредитованное представительство в обязательном порядке имеет развитую структуру сервисной службы, включающую подразделение техподдержки, библиотеку сервисной документации, учебный центр, склад запчастей (ЗИП).
2. Аккредитованное представительство имеет сервисную службу в усеченном варианте, когда многие подразделения, в лучшем случае, представлены номинально в лице одного сервис-менеджера.
3. Аккредитованное представительство, зарегистрированное в РФ, отсутствует и сервисная служба также отсутствует.
По данным «Ремонт & Сервис» за май 2002 г., к первой группе можно отнести HEWLETT PACKARD, PANASONIC и LG. Ко второй группе – TOMSON, WHIREPOOL, ELECTROLUX, BRAUN, SEB, MOULINEX, HYUNDAI, EPSON.
Требования к ремонту и техническому обслуживанию устанавливаются ГОСТ Р 50936-96 «Услуги бытовые. Ремонт и техническое обслуживание радиоэлектронной аппаратуры. Общие технические условия», ГОСТ Р 50938-96 «Услуги бытовые. Ремонт и техническое обслуживание электробытовых машин и приборов. Общие технические условия», а также разрабатываемый стандарт «Услуги бытовые. Ремонт и техническое обслуживание оборудования для информационных технологий. Общие технические условия».