Практические упражнения.

Тема 1. Аксиомы стереометрии и следствия из них.

Стереометрия - это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве. Основными фигурами являются: точка, прямая и плоскость.

· Точки обозначаются прописными буквами: А, В, С…

· Прямые обозначаются одной строчной или двумя прописными буквами: а или АВ.

· Плоскости обозначаются греческими буквами: …

 

В основе каждого курса геометрии лежат аксиомы - утверждения, которые принимаются без доказательств. С помощью этих утверждений определяются остальные объекты и их свойства.

 

Аксиомы стереометрии.

 

Некоторые обозначения

- принадлежит (точка)

- не принадлежит

- лежит (прямая)

- пересекает

- проходит через

 

 

 

Практические упражнения:

Из учебника «Геометрия 10-11» (автор Л.С. Атанасян): стр 7-8, задачи № 1,2.

 

Тема 2. Взаимное расположение прямых в пространстве

 

 

 

 

 

 

 

Упражнения:

Выполните чертёж по условию. Дано: АВСД – параллелограмм, О (АВСД),

М – середина ОД, К – середина ОС. Определите взаимное расположение прямых:

А) АВ и МК

Б) ОМ и ДМ

В) МК и АД

Г) АО и МД

Д) АВ и ОС

 

Тема 3. Скрещивающиеся прямые.

 

 

Теорема

Пример. Дано: АВСД – параллелограмм, , О (АВСД), М – середина ОД, К – середина ОС. (рис1). А) Доказать: МК АД. (прямые скрещивающиеся).

Б) Найти угол между МК и АД.

А) Доказательство: МК (ДОС), АД (ДОС)=Д, Д МК - по признаку скрещивающихся прямых.

Б) Решение: МК СД, значит угол между МК и АД соответственно равен

АДС= В=130

О

Д

А

Тема 4. Параллельность прямой и плоскости.

 

 

 

 

Теорема

Следствия из теоремы:

 

 

ПРИМЕР. Дано: АВСД – параллелограмм, О (АВСД), М – середина ОД,

К – середина ОС. (рис1). Доказать: МК (АВСД).

Док-во: МК (АВСД), МК СД (так как средняя линия ДОС), СД (АВСД)

МК (АВСД) – по признаку параллельности прямой и плоскости.

Практические упражнения:

Из учебника «Геометрия 10-11» (автор Л.С. Атанасян): стр 13, № 22, 23, 24.

 

Тема 4. Параллельность плоскостей.

 

 

Теорема.

 

 

 

Свойства параллельных плоскостей

 

ПРИМЕР. Дано: АВСД- параллелограмм, АА₁ СС₁. Доказать: (АА₁В) (СС₁Д).

Док-во: АА₁ СС₁ (по условию), АВ СД(т.к АВСД- парал-м),

(АА₁ АВ) (АА₁В), (СС₁ СД) (СС₁Д) (АА₁В) (СС₁Д)- по признаку параллельности плоскостей.

Практические упражнения:

1. Через вершины А и С параллелограмма АВСД проведены параллельные прямые АА₁ и СС₁, не лежащие в плоскости параллелограмма. Докажите, что (А₁АВ) (С₁СД).

2. Параллелограммы АВСД и АВС₁Д₁ (общее ребро АВ) не лежат в одной плоскости. Докажите, что (СВС₁) (ДАД₁).

3. Из учебника «Геометрия 10-11» (автор Л.С. Атанасян): стр 22, № 54(а).

Тема 5. Тетраэдр и параллелепипед.

Самостоятельное изучение из учебника «Геометрия 10-11» (автор Л.С. Атанасян). стр 24-26. Сделать конспект в тетрадь (состав, основные понятия и свойства фигур).

Практические упражнения.

Рис 1.

1. ДАВС – тетраэдр (АВС- основание), М – середина АВ, N – середина ВС.

Докажите, что МN (ДАС).

2. (по рис 1) АВСД- нижнее основание, А₁В₁С₁Д₁ –верхнее основание соответственно.

Найдите: а) (АДД₁) (АВВ₁) =.. Б) АВ₁ (ВСД) = …

В) Каким плоскостям принадлежит точка А? Г) В каких плоскостях лежит прямая ДД₁?

3. (по рис 1). Определите взаимное расположение прямых:

а) АД и В₁С₁ б) В₁С₁ и ДС в) АД₁ и АД г) АД и Д₁С₁ д) АВ и ДС.

4. (по рис 1). Найдите угол между АД и Д₁С₁, если АДС = 140

5. Параллелограмм АВСД и трапеция МВСК лежат в разных плоскостях и имеют общую сторону ВС. А) Докажите, что МК (АДС)

б) Докажите, что прямые МК и ДС скрещивающиеся.

В) Найдите угол между МК и ДС, если А = 60