Графики основных элементарных функций

Схема построения графиков

Имеется несколько способов задавать зависимость между переменными и . Чаще всего используется явное выражение . Можно считать и функциями от параметра: . Можно задать эту зависимость в виде уравнения
. В последнем случае говорят о неявно заданной функции.

Графическое изображение функциональной зависимости позволяет наглядно представить свойства изучаемой функции.

Опишем схему построения графика функции, заданного явным уравнением . Напомним, что график этой функции представляет собой множество точек на плоскости, координаты которых связаны равенством .

При исследовании функции следует начинать с нахождения области определения этой функции. Обычно, когда ставится задача построить график функции , рассматривается естественная область определения, т.е. множество чисел , при которых определено выражение . В ряде случаев рассматривается часть области определения, обозначим эту часть . Тогда мы говорим об ограничении функции на множество .

Ограничения функции на различные подмножества и могут обладать разными свойствами. Например, ограничение функции на множество
– убывающая функция, а ограничение – возрастающая функция.

После нахождения области определения функции, исследуем её на непрерывность и выясняем её асимптотическое поведение при стремлении к бесконечно удалённым точкам, или к граничным точкам области определения.

Некоторые функции обладают специфическими свойствами. Напомним, что функция называется чётной, если она определена на симметричном относительно точки множестве и если для любого выполняется равенство . График чётной функции симметричен относительно оси . Нечётной называется функция , если она определена на симметричном относительно точки множестве и если для любого имеет место равенство . График нечётной функции симметричен относительно начала координат. Функция называется периодической, если существует число такое, что для любого – области определения функции числа также принадлежат и .

Далее вычисляем производную и исследуем её знак. На множестве, где , функция возрастает, на множествах, где , функция убывает. Экстремумы функция может иметь в тех точках, где либо , либо не существует. Нахождение наибольшего или наименьшего значений функции, если они есть, позволяет установить множество значений, принимаемых функцией.

Исследование знака второй производной позволяет установить промежутки, на которых график функции выпукл вверх, или выпукл вниз, а также точки перегиба.

Преобразования графиков

Пусть определена на множестве , возрастает на (или убывает на ) и пусть – множество значений этой функции. Тогда для любого существует единственное значение такое, что . Это обозначим так: . Обратной для функцией назовём функцию . Для всех выполнено равенство . Для всех выполнено равенство . Например для имеем: , . Поэтому для всех и для всех .

График обратной функции симметричен графику функции относительно биссектрисы координатного угла.

Термины “сложная функция”, или “композиция функций” (а также “суперпозиция функций”) относятся к способу представления функции. Если, например, и определена на множестве значений , принимаемых функцией , то говорят, что – сложная функция, или композиция этих функций.

Особенно часто рассматриваются сложные функции вида .

Так как , точки графика , для которых , одновременно являются и точками графика . Те точки графика , для которых , при построении графика заменяются точками , т.е. точками симметричными относительно оси .

При построении графика функции сохраняем точки графика функции для которых , а потом соответствуют значения , т.е. график получается симметричным относительно оси отражением графика ограничения на множество функции .

Перейдём к построению графиков вида и начнём с рассмотрения важных частных случаев.

График функции получается из графика функции сдвигом на число по оси :

График функции получается из графика функции сдвигом на число по оси

График функции получается из графика умножением координаты на число

График получается из графика при сжатием вдоль оси в раз, если и растяжением в раз, если .

Если же , то для построения графика следует построить график согласно указанному выше правилу, затем отразить полученный график симметрично относительно оси .

Для получения графика функции следует представить её в виде и последовательно использовать приведённые выше правила.

Графики основных элементарных функций

Элементарной называется функция, которая может быть представлена в виде композиции нескольких основных элементарных функций и арифметических операций над ними. К основным элементарным функциям относятся степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Именно эти функции используются в математических моделях.

3.1. Степенная функция