Построение кривых, заданных параметрически

Рассмотрим способы построения кривых, заданных системой уравнений вида , .

В ряде случаев эту систему можно решить, получив уравнение, связывающее переменные и . Например, система

, дает уравнение . Учитывая, что множеством значений , , является отрезок , получаем, что исходная система уравнений задаёт функцию , определенную на отрезке . Из курса аналитической геометрии также известно, что уравнения , задают окружность радиуса , а также уравнения , , задают эллипс с полуосями и .

Если явно выразить через не удается, то используется схема, которую мы дадим на примере построения кривой, заданной системой уравнений , .

Начнем с построения графика функции . Эта функция непрерывна на всей числовой прямой, , . Первое из этих утверждений очевидное, второе следует из того, что . Далее, при функция стремится к 0 (применяется правило Лопиталя), а функция стремится к при .

Производная . При выполнено неравенство и , поэтому убывает. При , поэтому и функция возрастает. Наименьшего значения функция достигает при , . При этом и .

График имеет вид:

Каждому значению соответствуют два значения , обозначим их и , причем , .

Так как функция непрерывна и убывает при , функция также непрерывна и возрастает при , а так как непрерывна и возрастает при , также непрерывна и возрастает (мы использовали теорему об обратной функции).

Следовательно, по теореме о непрерывности сложной функции и - также непрерывные.

Исследуем асимптотическое поведение функций и при . При функция и , так как , , а . Так как

функция не имеет наклонной асимптоты.

При функция и функция , при этом . Наконец,

Поэтому прямая является наклонной асимптотой для .

Вычислим производные функций и . Обе они получаются по формуле . При получаем, что , поэтому, как , так и - возрастающие функции.

В точке обе функции и имеют первую производную, равную .

Наконец, вторая производная равна .

Поэтому при получаем , кривая выгнута вверх, а при , кривая выгнута вниз.

Комментарий к графику: и дают «клюв» - имеют особую правую касательную с тангенсом угла наклона в равным 4.

§5. Построение кривых, заданных уравнением в полярных координатах.

Рассмотрим задачу построения на плоскости , введенной прямоугольной декартовой системой координат, кривой, уравнение которой имеет вид . При этом мы считаем, что начало координат совпадает с полюсом полярной системы координат и что ось абсцисс совпадает с полярной осью. В этом случае для декартовых координат точки , имеющей полярные координаты , выполняются равенства , и уравнение равносильно системе .

Поэтому задание кривой полярным уравнением можно рассматривать, как частный случай задания кривой системой параметрических уравнений.

Рассмотрим несколько примеров.

Уравнение или , т.е. задает прямую линию на плоскости.

Построим кардиоиду, заданную уравнением , .

Так как функция периодическая, с периодом , рассматриваем . Так как функция чётная, достаточно построить кривую , а затем отразить ее симметрично полярной оси, т.е. оси абсцисс. При , меняющейся от до , величина убывает от значения до . Поэтому эскиз части кривой при имеет примерный вид:

Эскиз всей кривой получаем отражением относительно полярной оси.

Осталось ответить на два естественных вопроса. Первый из них: чему равна абсцисса точки ? Второй вопрос – о выпуклости кривой. Для получения ответов на эти вопросы рассмотрим параметрические уравнения части кардиоиды: , .