Рассмотрим способы построения кривых, заданных системой уравнений вида , .
В ряде случаев эту систему можно решить, получив уравнение, связывающее переменные и . Например, система
,
, дает уравнение . Учитывая, что множеством значений , , является отрезок , получаем, что исходная система уравнений задаёт функцию , определенную на отрезке . Из курса аналитической геометрии также известно, что уравнения , задают окружность радиуса , а также уравнения , , задают эллипс с полуосями и .
Если явно выразить через не удается, то используется схема, которую мы дадим на примере построения кривой, заданной системой уравнений , .
Начнем с построения графика функции . Эта функция непрерывна на всей числовой прямой, , . Первое из этих утверждений очевидное, второе следует из того, что . Далее, при функция стремится к 0 (применяется правило Лопиталя), а функция стремится к при .
Производная . При выполнено неравенство и , поэтому убывает. При , поэтому и функция возрастает. Наименьшего значения функция достигает при , . При этом и .
График имеет вид:
Каждому значению соответствуют два значения , обозначим их и , причем , .
Так как функция непрерывна и убывает при , функция также непрерывна и возрастает при , а так как непрерывна и возрастает при , также непрерывна и возрастает (мы использовали теорему об обратной функции).
Следовательно, по теореме о непрерывности сложной функции и - также непрерывные.
Исследуем асимптотическое поведение функций и при . При функция и , так как , , а . Так как
,
функция не имеет наклонной асимптоты.
При функция и функция , при этом . Наконец,
.
Поэтому прямая является наклонной асимптотой для .
Вычислим производные функций и . Обе они получаются по формуле . При получаем, что , поэтому, как , так и - возрастающие функции.
В точке обе функции и имеют первую производную, равную .
Наконец, вторая производная равна .
Поэтому при получаем , кривая выгнута вверх, а при , кривая выгнута вниз.
Комментарий к графику: и дают «клюв» - имеют особую правую касательную с тангенсом угла наклона в равным 4.
§5. Построение кривых, заданных уравнением в полярных координатах.
Рассмотрим задачу построения на плоскости , введенной прямоугольной декартовой системой координат, кривой, уравнение которой имеет вид . При этом мы считаем, что начало координат совпадает с полюсом полярной системы координат и что ось абсцисс совпадает с полярной осью. В этом случае для декартовых координат точки , имеющей полярные координаты , выполняются равенства , и уравнение равносильно системе .
Поэтому задание кривой полярным уравнением можно рассматривать, как частный случай задания кривой системой параметрических уравнений.
Рассмотрим несколько примеров.
Уравнение или , т.е. задает прямую линию на плоскости.
Построим кардиоиду, заданную уравнением , .
Так как функция периодическая, с периодом , рассматриваем . Так как функция чётная, достаточно построить кривую , а затем отразить ее симметрично полярной оси, т.е. оси абсцисс. При , меняющейся от до , величина убывает от значения до . Поэтому эскиз части кривой при имеет примерный вид:
Эскиз всей кривой получаем отражением относительно полярной оси.
Осталось ответить на два естественных вопроса. Первый из них: чему равна абсцисса точки ? Второй вопрос – о выпуклости кривой. Для получения ответов на эти вопросы рассмотрим параметрические уравнения части кардиоиды: , .
,
.
Из уравнения при , находим , , откуда , . Этим значениям соответствуют (при ), (при ), абсцисс 0.
(при ) - абсцисса точки .
Таким образом, на вопрос об абсциссе точки получим ответ .
Производная .
Отметим, что в точках , кривая имеет вертикальную касательную.
Вторая производная равна .
На промежутке эта величина меньше 0, на промежутке - больше 0.
Поэтому верхняя половина кардиоиды состоит из выгнутой вверх кривой, соединяющей точки и и выгнутой вниз кривой, соединяющей точки и .