Интеграл
О. Функция 
называется первообразной для 
если 
.
О. Неопределенный интеграл 
– множество первообразных вида 
.
Таблица интегралов:
1. 
; 2. 
; 
;
3. 
; 4. 
; 5. 
6. 
; 7. 
;
8. 
; 9. 
.
О. Определённый интеграл 
. Геометрически – площадь криволинейной трапеции.
Формула интегрирования по частям: 
.
№. 
.
№. 
. 
.
. 
.
№. 
. 
. 
.
№. 
.
№. 
.
№. 
.
№. 
. 
. 
.
.
.
№. 
.
№. 
.
№. 
.
№. 
.
№. 
.
№. 
.
№. Площадь фигуры, ограниченной параболой 
и прямой 
:
1) 
; 2) 
.
№. Площадь фигуры: 
. 
.
№. Площадь фигуры: 
. 
. 
.
№. Длина дуги кривой: 
. 
. 
.
№. Длина дуги кривой: . 
.
. 
.
№. Длина дуги кривой: . 
.
.
№. Объем тела, образованного вращением вокруг оси 
прямой 
, 
(конус):
.
Дифференциальные уравнения
I. При описании движения материального объекта используются характеристики: 
– перемещение, 
– скорость, 
– ускорение (при поступательном движении); 
– угол поворота, 
– угловая скорость, 
– угловое ускорение (при описании вращений); 
– время. Постановка проблемы: найти функцию, если известна её производная.
№. 
.
1) от равенства в производных перейдём к равенству в дифференциалах: 
.
2) от равенства в дифференциалах перейдём к равенству в интегралах: 
.
3) вычислим (общий интеграл – решение диф.уравнения): 
.
Частный случай: 
. Тогда 
(общее решение).
Задача с начальным условием: 
, 
. Используем найденное решение: 
.
Решение, удовлетворяющее уравнению и начальному условию 
.
№. 
.
1) 
. 2) 
. 3) 
. 
. 
.
, 
. 
, 
.
№. 
.
1) 
. 2) 
. 3) 
. 
. 
.
, 
. 
. 
.
№. 
.
1) 
. 2) 
. 3) 
. 
. 
.
, 
. 
, 
.
Простейшие типы дифференциальных уравнений
1. Уравнение с разделёнными переменными: 
.
1) от равенства в дифференциалах перейдём к равенству в интегралах 
.
2) вычислим (общий интеграл – решение диф.уравнения): 
.
2. Уравнение с разделяющимися переменными: 
.
1) разделим переменные 
получили уравнение с разделёнными переменными 
.
2) от равенства в дифференциалах перейдём к равенству в интегралах 
.
3) вычислим (общий интеграл – решение диф.уравнения): 
.
3. Линейное уравнение первого порядка: 
, где 
– известны.
1) решение ищем в виде произведения двух неизвестных функций 
. Тогда 
.
Уравнение примет вид: 
или 
.
2) Пусть 
. Тогда 
.
3) Решим первое уравнение (уравнение с разделяющимися переменными)
.
4) Решим второе уравнение (уравнение с разделяющимися переменными), в котором неизвестно 
:
. Общее решение линейного уравнения: 
.
№. 
или 
. Пусть 
или 
.
1) 
, 
или 
.
2) Пусть 
. Тогда 
.
3) 
.
4) 
. 
.
4. Однородное диф.уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами: 
.
1) Составляем характеристическое уравнение (алгебраическое) 
.
2) Случай 1. 
действительные. Общее решение однородного уравнения 
.
Случай 2. 
действительные. 
.
Случай 3. 
комплексные. 
.
№. 
. 1. 
. 2. 
.
Начальные условия: 
. 
.
Решение удовлетворяющее уравнению и начальным условиям: 
.
№. 
. 1) 
. 2) 
.
№. 
. 1) 
. 2) 
.
5. Неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами: 
.
Общее решение неоднородного уравнения есть сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного 
.
№. 
.
Частное решение ищем в виде 
, 
, 
.
Общее решение неоднородного уравнения: 
.
Пусть начальные условия: . Тогда:
.
Решение неоднородного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям 
.
Найти общий интеграл дифференциальных уравнений:
№. 
.
.
№. 
.
1) 
. 2) 
.
3) 
.
Решить задачу Коши:
№. 
.
1) Решение уравнения 
ищем в виде: 
. Тогда 
.
2) Пусть 
. Тогда 
. 3) 
.
4) 
5) 
. 6) 
.
Найти общие решение дифференциальных уравнений:
№. 
.
1) Для однородного уравнения 
составим характеристическое (алгебраическое) 
. 2) Общее решение однородного уравнения 
.
3) Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: 
.
Тогда: 
и уравнение примет вид: 
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 
,
получим: 
. 
любой, пусть 
.
4) Общее решение неоднородного уравнения: 
.
№. 
. 1) 
2) 
.
. Приравнивая коэффициенты при 
получим:
. 3) 
.
№. 
.1) 
.
2) 
. Приравняем коэффициенты при
: 
.
3) 
.
№. 
. 1) 
.
2) 
.
3) 
.4) 
.
Решение линейных дифференциальных уравнений второго порядка
с постоянными коэффициентами методом Лапласа
О. – оригинал, 
(
– комплексный параметр) – преобразование Лапласа,
– изображение.
№. 
.
№. 
= 
.
№. 
, 
, 
.
№. 
. 5. 
.
№. 
.
№. Найдём преобразование Лапласа первой производной:
= 
= 
.
№. Найдём преобразование Лапласа второй производной:
= 
=
= 
.
№. Найти решение уравнения 
, удовлетворяющее начальным условиям 
Схема решения:
1. Подействуем преобразованием Лапласа на левую и правую части уравнения
.
2. Подействуем обратным преобразованием Лапласа на левую и правую части уравнения
(решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям).
№. , 
1. 
.
2. 
.
№. , 
1. 
.
2. 
.
№. , 
1. 
.
2. 
.
№. 
,
1. 
.
2. 
.
№. ,
1. 
.
2. 
.
№. 
, 
1. 
.
2. 
.
№. ,
1. 
.
2. 
.