С целью пропедевтики основных понятий информатики была предпринята попытка включения элементов информатики в курс геометрии VI класса при решении задач на построение. Алгоритмический характер таких задач очевиден. Поэтому была сделана попытка создания алгоритмического языка для описания процесса геометрических построений.
Система указаний для построения на плоскости. Рассмотрим алгоритмы решения задач на построение при помощи циркуля и линейки. В состав таких алгоритмов входят известные школьникам указания (предписания) выполнить определенные действия. Конечный, используемый нами набор таких указаний будем называть системой указаний.
Приведем примеры наиболее типичных указаний нашей системы.
Провести прямую через точки А и В. Обозначить построенную прямую именем а: а = пр (А, В).
Провести произвольную прямую а: а = пр (+, +).
Провести прямую через точку А: а = пр (А, +).
Провести окружность с центром в точке А и радиусом с. Обозначить построенную окружность именем 01:01=окр (А, с).
Провести окружность 01 произвольного радиуса с центром в точке А: 01=окр (А, +).
Выбрать произвольную точку на плоскости (p). Обозначить выбранную точку именем В: В =(+) или В=t(p).
Выбрать произвольную точку В на прямой а: В=t(а).
Обозначить именем ∆l треугольник с вершинами А,В,С: ∆1 =∆АВС.
Провести полупрямую а1 с началом в точке А и проходящую через точку В: а1 =ппр (А, В).
Провести произвольную полупрямую а1 с началом в точке А:
а1=ппр (А, +).
Обозначить именем ÐA угол с вершиной в точке А и сто-- ронами, проходящими соответственно через точки С и D: ÐA= ÐC,А,D.
Запятые в обозначении угла необязательны.
Обозначить именами А и В соответствующие точки пересечения прямой а с окружностью О1: {А, В}=а∩О1. Обозначить именем p1 полуплоскость с границей, содержащей прямую или полупрямую а1, и содержащую точку А вне границы: p1=ппл (а1, А).
|
|
В соответствии с приведенными примерами будем считать, что построения производятся в плоскости p. Рассматриваемые в алгоритмах полуплоскости будем обозначать буквой p вместе со следующим за ним натуральным числом. Точки будем обозначать прописными буквами русского или латинского алфавита, прямые или полупрямые — строчными буквами. После буквы в обозначении точки, прямой или полупрямой допускается запись натурального числа, часто просто цифры. Обозначение окружности будет начинаться с буквы О, обозначение треугольника — со знака ∆, обозначение угла—со знака ÐВ обозначении окружности, треугольника или угла вслед за первым символом также допускается запись последовательности цифр.
Строго говоря, отмеченные выше договоренности не являются принципиальными. Все элементы построения можно обозначать с помощью имен, состоящих из произвольной последовательности букв и цифр.
Наряду с указанными выше обозначениями, рассматривая новые элементы построения, вместе с введением новых указаний будем использовать новые обозначения, а также математические обозначения, понятные школьникам.
В записи алгоритмов также используются слова, смысл и значение которых являются постоянными в записи любых алгоритмов. Такие слова всегда записываются одинаково, обычно сокращенно и подчеркиваются.
При разработке алгоритмов на построение приведенные примеры указаний будем использовать в качестве образца для записи указаний.
|
|
Как видно из приведенных примеров, если в указании алгоритма вместо какого-нибудь параметра стоит знак «+» то данный параметр при выполнении алгоритма выбирается произвольно. При произвольном выборе параметров предполагается выбор параметров, отличных от ранее используемых в алгоритме.
Указания алгоритмов будем нумеровать последовательными натуральными числами. Между указанием и его номером будем ставить точку.
Простейшие задачи на построение
Задание 1. Построить треугольник с заданными сторонами. Предполагается, что величины сторон треугольника соответственно равны а, b, с.
Поясним каждое из приведенных указаний алгоритма.
1. Провести произвольную прямую l на плоскости.
2. Выбрать произвольную точку В на прямой l.
3. Провести окружность 01 с центром в точке В и радиусом а.
4. Обозначить именем С одну из точек пересечения окружности 01 и прямой l.
5. Провести окружность 02 с центром в точке В и радиусом с.
6. Провести окружность 03 с центром в точке С и радиусом b.
7. Обозначить именем А одну из точек пересечения окружностей 02 и 03.
8. Треугольник ∆ с вершинами в точках Л, В, С искомый.
9. Закончить действия.
Задание 2. Отложить от данной полупрямой l1 с началом в точке О в данную полуплоскость p1 угол, равный данному углу А.
Предполагается по условию задачи, что угол А задан вершиной А и двумя лучами b и с, имеющими общую вершину A.
Алгоритм 2.
Здесь указание 4 означает: провести окружность с центром в точке О и радиусом |АВ| равным расстоянию между точками A и В. Указание 6 аналогично указанию 4. Указание 7 означает: обозначить точки пересечения окружностей 02 и 03 именами С1 и С2. Порядок обозначения произвольный.
|
|
При выполнении указания 8 проверяется принадлежность точки С1 полуплоскости p1. Если точка С1 принадлежит полуплоскости л1, то под углом О будем понимать ÐB1, О, С1 с вершиной в точке О и лучами, проходящими через точки В1 и С1. Если точка С1 не принадлежит полуплоскости p1, то под углом О будем понимать ÐB1, О, С2 с вершиной в точке О и сторонами, проходящими через точки В1 и С2.
Задание 3. Построить биссектрису данного угла A, образованного лучами b и с.
Алгоритм 3. 1. 01=окр (Л, +)
2. В=O1∩b
3. С=01∩с
В приведенном алгоритме указание 6 означает: обозначить точку пересечения окружностей 02 и 03 именем D. Так как одной из точек пересечения окружностей 02 и 03 является точка A, то точка D может быть построена однозначно. Указание 7 означает: построить полупрямую d с началом в точке А и проходящую через точку D.
Задание 4. Разделить отрезок АВ пополам.
Алгоритм 4. 1. 01=окр (A, |АВ|)
2. 02=окр (B, |AВ|)
3. {С1.С2}=01∩02
4. l1=пр (Cl. C2)
5. M=l1∩AВ
6. стоп
Указание 5 означает: построить точку пересечения прямой l1 и отрезка АВ.
Задание 5. Через данную точку О провести прямую l, перпендикулярную данной прямой а.
Алгоритм 5. 1. если ОÏа то идти к 4
2. 01=окр (О, +)
3. идти к 6
4. В=t (а)
5. 01=окр (0,2|OB|)
6. {A, С} =01∩а
7. 02=окр (A, |AС|)
8. 03=окр (С, |AС|)
9. {D,K}=02∩03
10. l=пр (D,K)
11. стоп
Указание 5 здесь означает: построить окружность 01 с центром в точке О и радиусом, равным удвоенному расстоянию между точками О и В.
Использование алгоритмов
Приведенные выше алгоритмы мы будем считать основными простейшими алгоритмами для решения задач на построение при помощи циркуля и линейки. Эти алгоритмы можно использовать для решения других задач на построение.
Для удобства обращения к алгоритмам каждому алгоритму будем давать название (имя) и указывать исходные данные для алгоритма (аргументы), а также результаты его выполнения.
Удобно, указывая аргументы и результаты алгоритма (параметры), одновременно указывать их тип: рац—рациональное число, цел—целое число, пр—прямая, ппр—полупрямая, т — точка, окр—окружность, тр—треугольник, уг—угол, ппл—полуплоскость и т. д.
Название алгоритма, указание его параметров и их типов будем записывать в виде заголовка алгоритма перед первым его указанием. В качестве образца заголовка алгоритма приведем заголовок для алгоритма 1:
алг трг (рац а, b, с; тр ∆)
арг а, b, с
рез ∆
Имя алгоритма будем помещать в первой строчке заголовка после служебного слова алг— Имя алгоритма 1 состоит из трех букв — трг. После имени алгоритма в скобках указываются типы параметров алгоритма. Параметры одного типа разделяются запятыми. Различные типы параметров разделяются точкой с запятой. Во второй строчке после служебного слова арг через запятую перечисляются аргументы алгоритма, в третьей строчке после служебного слова рез перечисляются результаты алгоритма.
После заголовка алгоритма будем записывать служебное слово нач, после которого помещаются указания алгоритма. После последнего указания алгоритма будем записывать служебное слово кон.
Рассмотренным выше алгоритмам 2, 3, 4, 5 дадим соответственно имена: уг, бис, дел, пер.
При использовании известного алгоритма в решении задач достаточно в качестве отдельного указания записать обращение к алгоритму, состоящее из названия алгоритма и списка его параметров, причем тип параметров в обращении не указывается.
Параметры, являющиеся аргументами, должны быть определены к моменту выполнения алгоритма, т. е. заданы по условию или предварительно построены (числовые вычислены).
Рассмотрим следующий пример:
Задание 6. Построить треугольник с заданными сторонами а, b, с, если а =2, b=3, с =4.
Для выполнения задания будем использовать алгоритм трг, в таком случае требуемый алгоритм может иметь следующий вид:
Алгоритм 6. ал г тр1 (рац а, b, с; тр ∆)
арг а, b, с
рез ∆
нач
1. а=2
2. b=3
3. с=4
4. трг (а, b, с, ∆)
5. стоп
6.кон
Первые три указания задают аргументам алгоритма трг числовые значения. Указание 4 алгоритма тр1 требует применения алгоритма трг, который по заданным значениям длин сторон указывает способ построения искомого треугольника.
Указания 1—3 последнего алгоритма можно опустить, в этом случае искомый алгоритм будет иметь следующие указания:
1. трг (2, 3, 4, ∆)
2. стоп
Алгоритм-функция
Рассмотрим другую форму записи обращения к алгоритму. Рассматриваемое выше указание для построения треугольника по трем заданным сторонам трг (2, 3, 4, ∆) можно записать следующим образом: ∆=трг (2, 3, 4). Указания такого вида будем называть указаниями, имеющими форму функции.
Всякое обращение к известным алгоритмам можно записать в виде указания, имеющего форму функции. В свою очередь всякое указание на построение можно рассматривать как использование алгоритма, обращение к которому имеет форму функции.
Так, например, указание 01=окр (А, р) можно рассматривать как обращение к алгоритму с именем окр и параметрами A и р, являющимися аргументами алгоритма. Результат построения по данному алгоритму обозначается именем 01.
Такой алгоритм может состоять, например, из следующих указаний:
1. Сделать раствор циркуля равным р.
2. Поставить одну ножку циркуля в точку А.
3. Второй ножкой циркуля описать окружность.
4. Закончить действия.
Для указаний приведенного алгоритма можно также ввести сокращения и обозначения, удобные для записи, однако это делать необязательно, так как на практике такого рода указаниями обычно не пользуются.
Методические указания
Для изучения темы «Геометрические построения» в VI классе средней общеобразовательной школы отводится 14 ч.
На первом уроке вводятся определения окружности, центра, радиуса, хорды окружности, диаметра. Эти понятия являются уже знакомыми для учащихся. Представляется целесообразным на этом же уроке рассмотреть простейшие указания для построения алгоритмов: проведение окружностей, прямых, выбор точки из множества. После рассмотрения простейших указаний необходимо перейти к рассмотрению простейших алгоритмов.
Учащимся рекомендуется рассмотреть простейшие алгоритмы следующего вида:
1. Построить окружность с центром в точке О и радиусом 3 см.
2. Отложить на построенной окружности точку А и построить
отрезок О А.
3. Отметить на окружности две точки М и N. Провести хорду, их соединяющую.
4. Построить общую секущую к двум окружностям.
После выполнения каждого пункта учащиеся показывают свои записи и учитель вносит необходимые пояснения и коррективы.
На этом же уроке или в качестве домашнего задания рекомендуется рассмотреть алгоритмы построения к задачам 5 и 6.
На втором и третьем уроках рассматриваются понятия касательной к окружности, взаимное расположение двух окружностей, теоремы о центрах вписанной и описанной окружностей.
На этих уроках целесообразно рассмотреть указания алгоритмов, содержащие условные указания и указания перехода. Рекомендуется также использовать задания вида:
1. Провести диаметр окружности.
2. Проверить, является ли прямая касательной к окружности.
На четвертом и пятом уроках следует рассмотреть указания алгоритмов, содержащие понятия полупрямой, полуплоскости, угла, треугольника. Здесь решаются задачи, связанные с построением угла, равного данному, а также треугольника по трем заданным элементам.
На шестом, седьмом и восьмом занятиях рассматриваются вопросы: построение биссектрисы угла, деление отрезка пополам и построение перпендикулярной прямой.
При проведении этих занятий целесообразно рассмотреть алгоритм построения прямой, параллельной данной и проходящей через данную точку, алгоритм построения прямой, касающейся окружности и проходящей через данную точку, и другие алгоритмы подобного типа, обращения к которым в дальнейшем можно использовать как элементарные указания.
При разработке алгоритма построения прямой, параллельной данной прямой а и проходящей через данную точку А, мы используем обращение к алгоритму 5 (построение прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярно данной прямой).
Алгоритм 7. алг пар (т А, пр a, l)
арг А, а
рез l
нач пр b
1. b=пер (А, а)
2. l=пер (А, b)
3. стоп
кон
В приведенном алгоритме использовалась прямая b, которая не является параметром алгоритма. Указание типа для имени
b записано перед первым указанием алгоритма, после служебного слова нач.
В дальнейшем для построения прямой l, параллельной данной прямой а и проходящей через данную точку А, можно использовать обращение к алгоритму 7: l=пар (А, а).
Для проведения произвольной прямой, параллельной данной прямой а, можно использовать указание: l=пар (+,о).
Приведенные указания для использования алгоритма пар можно считать элементарными и не разбивать их на более мелкие указания.
Аналогично можно рассмотреть алгоритмы построения касательных к окружности, проходящих через данную точку.
Занятия 9—14 посвящаются вопросам: геометрическое место точек, метод геометрических мест, углы, вписанные в окружность. На этих занятиях предполагается свободное использование элементов изученной учебной графической системы при рассмотрении алгоритмов на построение.
В целом при изучении данной темы учащиеся должны усвоить основные элементарные указания алгоритмов построения на плоскости, правила и особенности их использования. При этом должна ставиться цель пропедевтики курса информатики, приобретения и развития алгоритмических навыков. У учащихся должен вырабатываться взгляд на алгоритмический язык как на совокупность средств и правил записи алгоритмов.
Межпредметные связи курсов «основы информатики и вычислительной техники» и «Математика» при выборе задач для практики по программированию.
Можно выделить три основных этапа практики:
выбор темы задачи и составление алгоритма ее решения, написание, отладка и тестирование программы, оформление и защита отчета по проделанной работе. Мы рассмотрим здесь первый этап работы.
1. Прикладная направленность. Тема работы должна отражать реальную ситуацию, возникающую в научно-технической практике применения ЭВМ. Разумеется, уровень сложности при этом должен соответствовать возможностям школьника.
2. Математическое моделирование. Работа должна содержать составление математической модели изучаемого явления, включая такие вопросы, как сравнение различных моделей и выбор более эффективной с учетом использования компьютера.
3. Использование межпредметных связей. Работа должна опираться на знания и умения, полученные школьниками на других уроках как физико-математического, так и естественного, а возможно, и гуманитарного цикла.
Темы работ по программированию разбиваются на три группы:
системные задачи; задачи вычислительной математики; информационные, или нечисленные, задачи (разумеется, некоторые задачи находятся «на стыке»).
Системные задачи, требующие глубокого знания работы ЭВМ, обычно привлекают немногих сильных учеников. Желательно предоставлять им возможность индивидуальной работы
Вторую группу составляют задачи вычислительной математики. В курсах математики и программирования учащиеся знакомятся с основными методами приближенного решения уравнений, решения систем линейных уравнений, с методами интерполяций и экстраполяции, с методами численного интегрирования. Это позволяет предложить школьникам большой набор заданий. Однако при этом возникают затруднения методического плана.
Численный метод представляет собой полностью описанный алгоритм, и изучение его сопровождается составлением и подробным разбором схемы алгоритма и программы, а часто и отладкой этой программы в качестве практического задания. Поэтому задание типа «Составьте программу решения данного уравнения методом хорд» ко времени прохождения практики является слишком простым и, главное, не требует самостоятельной творческой работы учащегося. Кроме того, курс вычислительной математики в школе в силу нехватки учебного времени и отсутствия развитого математического аппарата носит неполный характер и, как правило, оставляет в стороне вопросы сходимости, точности и т. п. Это может привести к неожиданным сложностям при решении практических задач. Отметим также, что если в курсе вычислительной математики изучается большое количество приближенных методов, то в школьной практике в отличие от научной применяются в основном точные аналитические методы, что достигается искусственным сужением класса рассматриваемых функций и подбором коэффициентов. Практически все сводится к приближенному подсчету значения выражений в задачах по физике и химии.
Чтобы избежать этих трудностей, целесообразно предлагать учащимся исследовать реальные физические, химические и другие подобные ситуации, самостоятельно продумать математическую модель явления, приводящую к уравнению или системе уравнений. Эти уравнения решаются в дальнейшем путем применения численного метода с использованием стандартной подпрограммы, составленной на соответствующем уроке вычислительной математики. Желательно, чтобы уравнения, описывающие рассматриваемые явления, не решались аналитически или их решение было чересчур сложным — этим наглядно демонстрируется эффективность применения приближенных методов.
Большинство учащихся обычно выбирают информационные задачи. Как пишет известный американский специалист по системному программированию Д. Кнут, «числа в таких задачах встречаются по чистой случайности, и при решении этих задач используется способность вычислительной машины принимать решения, а не ее умение производить арифметические действия». Эти задачи позволяют охватить практически все сферы интересов учащихся: математику, физику, химию, биологию, игры и многое другое. Заложенные в них математические модели и алгоритмы допускают простые и наглядные формулировки, опирающиеся на основные понятия соответствующих предметов: «многочлены»,
«структуры органических молекул», «электрические цепи» и т. п. При этом информационные задачи отличаются высоким уровнем логической сложности и дают возможность познакомить школьников с практическим использованием основных информационных структур и алгоритмов, составляющих современное нечисленное программирование.
Кроме того, информационные задачи легко поддаются методической обработке — небольшие изменения в формулировке задания позволяют варьировать уровень трудности, с тем чтобы он соответствовал возможностям конкретного школьника.
Мы остановимся на следующих темах, отражающих межпредметные связи между курсом ОИВТ и математическими курсами:
1. Целые и рациональные алгебраические выражения.
2. Делимость чисел.
3. Разложение на множители многочленов с рациональными коэффициентами.
4. Комбинаторика.
5. Выпуклые фигуры.
Целые и рациональные алгебраические выражения.
Многочлены от одного переменного образуют кольцо. Предлагается составить комплекс программ, реализующих в нем операции сложения, вычитания, умножения и деления с остатком.
Многочлены степени N естественно представлять в виде одномерных массивов размерности (0:N), т. е. нумеруя их коэффициенты:
а(0), а(1),..., а (N). Условимся, что нулевой элемент массива содержит старший коэффициент многочлена, например, многочлен x3+3x+2 представляется массивом (1, 0, 3, 2).
Программы сложения и вычитания многочленов сводятся к поэлементным операциям над массивами, при этом нужно корректно обработать случай, когда степень одного многочлена больше степени другого.
Программа умножения работает методом накопления значений коэффициентов. На этом простом примере мы поясним способ записи алгоритма, который будет использован ниже. Каждый алгоритм имеет название («Произведение»), его шаги обозначаются первыми буквами названия и пронумерованы (Пр1 —Пр4). Шаги содержат сравнительно крупные действия, соответствующие одному-двум операторам развитого языка уровня Алгола-68 или ПЛ/1. В других языках программирование одного шага может потребовать группы операторов. Комментарии к алгоритму заключены в круглые скобки.
ПРОИЗВЕДЕНИЕ.
Пр1. ПРОИЗВ 0 (присвоить элементам ПРОИЗВ значение 0)
Пр2. для всех i от 0 до М выполнить Пр3 — Пр4.
Пр3. для всех j от 0 до N выполнить Пр4.
Пр4. ПРОИЗВ (M+N-i-j) ПРОИЗВ (M+N-i-j)+A (i)´B (j). Здесь A(0:M) и B(0:N)—перемножаемые многочлены, ПРОИЗВ (0:M+N)—их произведение.
Более сложной является программа деления многочленов с остатком «уголком». В ней используются четыре массива: ДЕЛМ (О:М)— делимое, ДЕЛТ (0: N) — делитель, ЧАСТН (0: M)—частное и ОСТ (O:M) — остаток. Поскольку любая программа не должна менять входную информацию, массивы ДЕЛМ и ДЕЛТ должны оставаться неизменными, а для промежуточных вычислений используется массив OCT. Поэтому его размерность определена (0:M), хотя окончательно размерность остатка меньше размерности делителя. Если первые элементы массива — нули, то степень соответствующего многочлена меньше размерности массива. Определим функцию СТЕПЕНЬ (A), аргументом которой является массив, а значением — истинная степень многочлена, определяемого этим массивом. Она равна разности между числом элементов в массиве и номером первого ненулевого элемента. Алгоритм подсчета значения СТЕПЕНЬ тривиален.
ДЕЛЕНИЕ.
Д1. СТЕПМ СТЕПЕНЬ (ДЕЛМ), СТЕПN СТЕПЕНЬ (ДЕЛТ), ОСТ ДЕЛМ
Д2. для всех i от 0 до СТЕПM — СТЕПN выполнить Д3 — Д4
ДЗ. ЧАСТН (i) ДЕЛМ (СТЕПМ-i) /ДЕЛТ (N — СТЕПN)
(вычисляется коэффициент частного при члене степени СТЕПM — CTEПN - i)
Д4. для всех i от 0 до СТЕПN выполнить ОСТ (i+j)-OCT (i+/)- ЧАСТН (i) Х ДЕЛТ (/)
Д5. СТЕПОСТ СТЕПЕНЬ (ОСТ), СТЕПЧАСТН СТЕПЕНЬ (ЧАСТН) (СТЕПОСТ содержит степень остатка, ОСТ — остаток, СТЕПЧАСТН — степень частного, ЧАСТН — частное)
Задачу можно обобщить на случай рациональных алгебраических выражений от одного переменного. Алгебраическая дробь задается упорядоченной парой многочленов, и правила действий с дробями позволяют свести алгебраические действия над ними к действиям над многочленами. Соответствующие простые программы используют подпрограммы, составленные по вышеописанным алгоритмам. Обычно накладывается дополнительное условие, что дробь должна быть приведенной (т. е. числитель и знаменатель не должны иметь нетривиальных общих делителей), а старший коэффициент знаменателя равен 1. Разберем алгоритм приведения дроби к каноническому виду. Для этого требуется использовать алгоритм Евклида нахождения НОД многочленов.
ПРИВЕДЕНИЕ.
П1. QRP, RRQ (Q и Р—исходные массивы, RR, QR и PR—рабочие массивы, используемые при вычислениях).
П2. пока RR отлично от 0 (т. е. хотя бы один элемент не равен 0) выполнять ПЗ — П4, иначе перейти к П5 (при этом PR содержит НОД Р и Q).
ПЗ. PRQR, QRRR.
П4. Разделить с остатком (применить ДЕЛЕНИЕ) PR на QR. Остаток поместить в RR.
П5 (разделить числитель на НОД). Разделить Р на PR, частное поместить в RR (остаток равен 0).
П6 (разделить знаменатель на НОД). Разделить Q на PR, частное поместить в QR (остаток равен 0).
П7. Разделить поэлементно RR и QR на первый ненулевой элемент QR (для его определения можно воспользоваться функцией СТЕПЕНЬ) и закончить (RR и QR содержат числитель и знаменатель дроби).
Отметим, что время работы можно сократить, убрав пересылки в П3. Правда, при этом увеличивается число шагов
2. Делимость чисел. Приведем пример межпредметных связей, когда математические формулы и теоремы используются для оценки алгоритма. Мы разберем задачу, связанную с теоремой Лагранжа. Алгоритм ее решения несложен, но дает возможность познакомить школьников с проблемами анализа алгоритмов. Эти проблемы наряду с тестированием незаслуженно обходятся не только в школьных, но и в вузовских курсах программирования.
Теорема Лагранжа утверждает, что каждое натуральное число может быть представлено в виде суммы четырех квадратов целых чисел. Она доказывается конструктивно, т. е. дается алгоритм построения такого разбиения для любого числа.
Доказательство опирается на понятие вычетов по простому модулю и может быть изучено сильным учеником на факультативных занятиях или по книге. Будем рассматривать только упорядоченные по убыванию разложения, тогда при N =i2 + j2 + k2 + l2 выполняется i³ j³ k³ l. Тогда верно i2£ N и i2 ³ N/4, т. е. i принадлежит отрезку [ 
/2, ]. Поскольку j, k и l не превышает i, общее число комбинаций можно оценить сверху 
Точную оценку дает формула
Приведем теперь алгоритм, позволяющий получить все упорядоченные разложения данного числа.
КВАДРАТЫ.
К1. для всех i от до /2 выполнить К2—К8.
К2. S1 i2. Если N=S1, то вывести (i).
КЗ. для j от i до 0 выполнить К4—К8.
К4. S2S1+j2, Если N=S2, то вывести (i, j).
К5. для k от j до 0 выполнить Кб—К8.
К6. S3S2+k2, Если N =S3, то вывести (i, j, k).
К7. для l от k до 0 выполнить К8.
К8. Если N=S3+l2 то вывести (i, j, k, 1} и перейти к К5 со следующим значением k.
В этом алгоритме i, j, k и I пробегают целые значения в соответствующих интервалах. S1, S2, S3 введены для сокращения объема вычислений. Выполнение шага К8 можно прекращать при нахождении первого значения, удовлетворяющего условию, поскольку не может быть двух разложений, отличающихся только последним числом. Небольшая модификация алгоритма позволяет организовать работу до нахождения первого разложения. Эта программа может быть использована для численного решения многих статистических задач: распределение чисел, представляемых в виде суммы 1, 2, 3, 4 квадратов, как функция N, число различных представлений в требуемом виде, а также проверить приведенную нами оценку числа комбинаций.
3. Решение алгебраических уравнений с рациональными коэффициентами. Обычно в школьной практике уравнения вида аоxn+a1 xn-1+ +…+an=0 имеют рациональные коэффициенты. В этом случае имеется эффективный алгоритм нахождения всех рациональных корней. Прежде чем разбирать его, отметим, что умножение на НОК знаменателей коэффициентов позволяет сделать их целыми числами. Если старший коэффициент отличен от единицы, то умножим уравнение на a0n-1и сделаем подстановку у=аох. Таким образом, мы всегда можем считать все коэффициенты целыми, а ставший равным 1.
В алгебре доказывается, что все рациональные решения такого уравнения являются целыми числами, и при том делителями свободного члена. Разумеется, у уравнения могут быть и иррациональные корни.
Работу можно существенно сократить, если воспользоваться модификацией схемы Горнера.
Пусть а — корень уравнения, тогда по теореме Безу
xn+a1xn-1+…+an=(x-a)(xn-1+c1xn-2+…+cn-1).
Запишем это тождество в виде
xn+a1xn-1+…+an=(x-a)(-b0xn-1-b1xn-2-…-bn-1)
и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях:
an=abn-1; an-1=abn-2-bn-1; …;a1=ab0-b1; 1=-b0
Все числа ai и bi являются целыми, поэтому an,an-1+bn-1,… делятся на а. Значит, если хоть один из коэффициентов bi окажется нецелым, то проверяемое число не может быть корнем. Отметим также, что по теореме Безу при x=1 и х=-1 a0+a1+…+an делится на а-1, а ao-a1+…+(±)an делится на а+1. Обе суммы вычисляются один раз в начале работы. Эти два условия позволяют сразу отбросить «лишние» делители.
В более общем виде этот метод позволяет находить разложение на множители многочлена с рациональными коэффициентами.
Пусть f (х)—многочлен с целыми коэффициентами. Предположим, что он является произведением многочленов g (х) и Н (х). При любом целом х из f (x)=g (х) h (х) следует, что f (х) делится на g(x). Пусть т—степень многочлена g(x). Возьмем m+l различных целых значений х, например 0,1—1,2... g (х) вполне задается своими значениями в этих точках, которые являются делителями значений f (х) в тех же точках. Итак, все возможные делители степени не выше m с целыми коэффициентами многочлена f (х) определяются различными комбинациями делителей чисел f (0), f (1), f (-1),....
Не разбирая алгоритм подробно, перечислим основные этапы работы.
1. Вычислить f (0), f (1),... (m+1—значение) (если f (х)— многочлен степени n, то т достаточно взять равным п/2).
2. Рассмотреть все возможные комбинации делителей f (0), f (1),..., взятых с обоими знаками.
3. Для каждой комбинации (do, d1,..., dm) найти коэффициенты многочлена g (х), принимающего в точках 0,1,-1... значения do, d1,..., dm.
4. Если f (х) делится нацело на g (х), то задача решена, иначе перейти к анализу следующей комбинации.
Последовательно применяя этот алгоритм, можно найти разложение многочлена на неприводимые множители. Эта задача демонстрирует связь представления многочлена как алгебраической структуры и функциональной зависимости, а также практическое приложение этой связи.
4. Комбинаторика. Одним из важнейших применений комбинаторики является программирование, где, например, перестановки и их свойства существенно используются для анализа различных алгоритмов сортировки информации. Сортировкой называется расположение ранее неупорядоченной информации (массива, файла) в порядке возрастания или убывания. Понятие возрастания (порядка) широко применяется в моделировании конкретных задач. Кроме обычного порядка на множестве чисел «число а больше числа &», можно назвать упорядочение букв в алфавите, слов в словаре. Иногда информация упорядочивается по какой-то одной части, или, как обычно говорят, по одному полю. Например, информация об учащихся (журнал) упорядочена по фамилиям. Считается, что в мире более четверти всего машинного времени тратится на сортировку. Поэтому важно грамотно выбирать метод сортировки в зависимости от конкретной задачи, т. е. проводить анализ эффективности алгоритмов. Неупорядоченное множество можно рассматривать как некоторую перестановку упорядоченного, поэтому свойства перестановок определяют числовые характеристики алгоритмов сортировки.
Далее для простоты изложения под перестановкой понимается перестановка без повторений чисел 1, 2,..., n, обозначаемая (a1, a2,..., an). Следующие основные понятия, часто выходящие за пределы школьного курса математики, приводят к интересным алгоритмам.
Упорядочение множества перестановок. На множестве перестановок можно определить порядок. Будем говорить, что одна перестановка больше другой, если до какого-то элемента они совпадают, а следующий в первой больше, чем во второй. Например, (4, 2, 3, 1) больше, чем (4, 2, 1, 3). Такой порядок называется лексикографическим. Будем говорить, что одна перестановка непосредственно следует за другой, если она больше ее, и не существует третьей перестановки, которая была бы меньше первой, но больше второй. Вышеприведенные перестановки непосредственно следуют одна за другой. Построим алгоритм, позволяющий по данной перестановке построить непосредственно следующую. Если применить его последовательно, начиная с наименьшей перестановки (1, 2,...), то можно получить все перестановки. Такой генератор перестановок может использоваться для численного анализа различных алгоритмов сортировки и во многих других приложениях.
СЛЕДУЮЩАЯ ПЕРЕСТАНОВКА.
С1. Для i от n-1 с шагом -1 до 1 выполнить
если a(i)<a(i+1) то перейти к С2.
Закончить (исходная перестановка максимальна).
С2. (найти наименьшее число, большее а (i)).
Для j от п с шагом — 1 выполнить
если a(i)<a(j), то перейти к С3 (j заведомо больше i)
СЗ. Переставить а (i) и а (j)
С4. (перевернуть конец перестановки)
Для k от 1 до (n-i)/2 переставить a(i+k) и a(n—k+1)
Эта задача демонстрирует важное для приложений, но выходящее за рамки школьного курса применение понятия порядка.
Отметим, что этот алгоритм может быть обобщен для случая перестановок с повторениями, а также для случая, когда каждый элемент имеется в неограниченном количестве экземпляров, например для генерации упорядоченных «слов» заданной длины.
Циклы. Перестановку можно рассматривать как функцию, определенную на множестве чисел (1,2,..., n) со значениями в том же множестве. Этот подход позволяет перенести на перестановки многие понятия теории функций, а также теории групп, поскольку перестановки с естественно определенным умножением образуют группу. Чтобы отличать этот подход от предыдущего, будем применять двустрочное обозначение
Перестановку можно задавать как произведение циклов. Вышеприведенная перестановка есть произведение циклов (1, 4) и (3, 2), т. е. 1 переходит в 4, 4 в 1, 2 в 3, а 3 в 2. Конечно, разложение в циклы не однозначно, поскольку ту же перестановку можно записать в виде (3, 2) (4,1). Однако на самом деле это «те же самые» циклы, и можно определить понятие канонической записи, при которой такое разложение будет однозначным (ср. каноническую запись многочлена). Отметим, что в канонической записи скобки можно опустить, поскольку они восстанавливаются однозначно.
Циклы применяются, если требуется произвести перестановку элементов массива, не применяя дополнительной памяти,— в этом случае каждый цикл переставляется независимо по кругу.
Пусть задано некоторое произведение циклов. Как их перемножить? Тривиальный алгоритм прослеживает каждый элемент через все циклы. Например, если перемножаются циклы (1, 3, 6, 7) (2, 3, 4) (1, 5, 4) (6, 1, 4, 5) (2, 7), то 1 переходит в 3. 3 в 4, 4 в 1, 1 в 4, 4 неподвижно, окончательно 1 переходит в 4. Но при таком подходе придется просматривать всю формулу п раз. Существует алгоритм, позволяющий решить задачу за один просмотр формулы. Создадим вспомогательный массив Л, в начале содержащий единичную перестановку (1, 2,.... п). Будем просматривать формулу с конца, т. е. справа налево. Если очередной символ не скобка, запомним его в М, а элемент, ранее находившийся в М, поместим на его место. При символе ")", отмечающем границу цикла, в М отправляем 0 и позицию следующего числа временно запомним в KС, пока не дойдем до конца цикла — символа "(" и не узнаем, во что оно переходит.
ЦИКЛ.
Ц1. (создать массив A) для i от 1 до п A(i) i
Ц2. Взять следующий элемент (просмотр справа налево) х
если х="(", то перейти к Ц4
если х число, то перейти к Ц3(j — индекс х в A)
если х=")" то M0 и перейти к Ц2
если формула исчерпана, то закончить (A— искомая перестановка)
ЦЗ. если M=0 (первый элемент после ")"), то К j, М A(j), перейти к Ц2
Ц4. A (k) M, перейти к Ц2.
Эта задача показывает важный подход к задачам символьной обработки строк, позволяющий значительно (на порядок) сократить время работы.