Рациональной называется функция вида ,
где и
- многочлены степени
и
соответственно,
. Поэтому интегрирование рациональных функций сводится к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби
,
.
При этом можно считать коэффициент при равным единице.
Первым шагом при вычислении интеграла от функции такого вида является разложение знаменателя на множители
,
где - корни многочлена
кратности
соответственно, а трехчлены
,
не имеют действительных корней
. При этом
.
Следующим шагом является представление дроби в виде суммы простейших дробей:
.
Здесь - некоторые числа, которые находятся методом неопределенных коэффициентов. Заключается он в том, что правая часть последнего равенства приводится к общему знаменателю. В числителе получившегося выражения получается некоторый многочлен степени
, коэффициенты которого, выраженные через искомые константы, надо приравнять к коэффициентам многочлена
. Получается система
линейного уравнения. Рассмотрим пример
.
.
Отсюда
.
Решая эту систему, получим значения ,
,
,
,
. Поэтому
.
Есть другие методы нахождения коэффициентов разложения, которые не столь универсальны, как изложенный выше, но в в частных случаях бывают гораздо удобнее. Например, если знаменатель имеет только действительные простые (кратности один) корни, можно поступить следующим образом.
.
.
Положим поочередно . Получим равенства
.
Отсюда .
.
Если знаменатель имеет действительные корни, среди которых есть корни кратности больше единицы, то поступим так:
.
.
Положим , тогда
. Теперь положим
, получим
. Осталось найти А. Продифференцируем предыдущее тождество:
.
Положим равным значению кратного корня, т.е.
, тогда
.
.
Итак, разбивая правильную дробь на простейшие, мы ее интегрирование сводим к интегрированию дробей следующих видов:
1) ; 2)
; 3)
; 4)
.
Посчитаем интегралы от этих дробей:
1) ; 2)
;
3)
.
Здесь надо заметить, что так как
- дискриминант квадратного трехчлена
, не имеющего действительных корней, а значит, отрицательный.
4)
.
В последнем интеграле делается подстановка :
.
Вычисление такого интеграла рассмотрим в п. 6.
Еще один способ вычисления интеграла - использовать рекуррентное соотношение, которое сейчас установим.
.
Например, посчитаем интеграл
. Следовательно, вышеприведенный интеграл окончательно имеет вид:
.
Упражнение. Решить соответствующие задания из расчетно-графической работы.
Метод Остроградского
Пусть знаменатель несократимой дроби имеет вид
.
Метод Остроградского заключается в использовании формулы
.
В ней многочлены и
имеют вид
,
соответственно и могут быть вычислены без разложения многочлена на произведение неприводимых множителей.
Действительно, является наибольшим общим делителем двух многочленов
и
, и может быть вычислен при помощи алгоритма Евклида, который излагается в курсе алгебры.
Остается вычислить многочлены и
как многочлены с неопределенными коэффициентами степени на единицу ниже, чем
и
соответственно. Для вычисления указанных неопределенных коэффициентов следует продифференцировать формулу Остроградского, привести результат дифференцирования к общему знаменателю и сопоставить коэффициенты при одинаковых степенях х в числителях.
Метод Остроградского особенно эффективен, когда корни в основном являются кратными или когда вызывает затруднение нахождение корня
.
Вычислим .
Имеем ,
.
Наибольший общий делитель этих многочленов равен
.
Поделив на
«столбиком», найдем
.
и
задаем как многочлены первой степени с неопределенными коэффициентами, и формула Остроградского принимает вид
Продифференцируем эту формулу:
.
Результат дифференцирования приводим к общему знаменателю, после чего сопоставляем числители. Получим
.
Сопоставляя коэффициенты при и
, получим систему уравнений:
Решая эту систему, найдем . Таким образом формула Остроградского принимает вид:
.
Вычислим интеграл в правой части:
.
Окончательно имеем
.
Рассмотрим еще один пример.
Разложим знаменатель на множители:
.
Отсюда .
.
Приравнивая коэффициенты:
.
.
Упражнение. Применяя метод Остроградского найти соответствующие интегралы из расчетно-графической работы.