При интегрировании тригонометрических функций часто оказываются полезными следующие формулы
; 
; 
.
Например, 
.
Иногда удобно использовать формулу 
следующим образом:
.
Рассмотрим интеграл вида
С рациональной функцией R.
При любой функции 
такой интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью универсальной тригонометрической подстановки
.
.
В некоторых случаях процедуру сведения интеграла к интегралу от рациональной функции можно упростить. Рассмотрим эти случаи.
1) Если 
, то удобнее воспользоваться постановкой
.
2) При условии 
, проще всего использовать замену
.
3) В случае 
, поможет подстановка
.
Например, 
.
Интеграл вида 
можно рационализировать посредством подстановки 
, при этом
.
Упражнение. Решить соответствующие задания из расчетно-графической работы.
Интегрирование иррациональных функций.
Если подынтегральная функция содержит радикалы вида 
, 
, 
, то часто бывает полезно сделать одну из следующих замен:
,
,
или
, 
,
.
В следующем интеграле воспользуемся последней из замен
.
Иногда могут помочь тригонометрические или гиперболические подстановки другого вида:
.
Упражнение. Решить соответствующие интегралы из расчетно-графической работы.
Рассмотрим интеграл вида:
.
Выделим из рациональной функции целую часть 
,
и разложим правильную дробь 
на сумму простейших дробей. После этого задача о нахождении интеграла сводится к нахождению интегралов:
1) 
2) 
, 3) 
Первый интеграл считается с помощью формулы
.
Чтобы найти коэффициенты многочлена 
степени n-1 и число 
надо продифференцировать эту формулу.
.
После дифференцирования получим
.
Приравниваем коэффициенты
|
|
.
Отсюда,
.
.
Посчитаем теперь второй интеграл с помощью замены 
.
Получим
.
Таким образом, второй интеграл сведен к предыдущему.
Осталось рассмотреть третий интеграл. В случае 
делаем замену 
. Когда 
, нужна замена 
, при этом 
и 
подбираются такими, чтобы в трехчленах не осталось членов с первой степенью. Для этого надо решить относительно и уравнения.
, 
.
После замены получим интегралы
.
В первом из них применим подстановку 
, во втором - подстановку 
.
Рассмотрим соответствующие примеры. Первый случай 
:
.
Случай второй (
:
.
Решаем систему
, 
.
, 
.
Делаем замену 
, 
, 
.
Дальше интеграл считается совершенно аналогично предыдущему.
Интеграл вида
, 
, 
, где 
- рациональная функция, можно свести к интегралу от рациональных функций посредством одной из подстановок Эйлера:
, a>0,
, c>0,
, 
,
где 
один из корней квадратного трехчлена 
.
.
.
.
.
.
Упражнение. С помощью подстановки Эйлера вычислить соответствующие интегралы из расчетно-графической работы.
Интегралы вида
,
где 
, 
, причем 
, называют интегралом от дифференциального бинома. Данный интеграл сводится к интегралу от рациональной функции в следующих трех случаях:
- подстановкой 
, где 
- общий знаменатель m, n;
- подстановкой 
, где q – знаменатель р;
- подстановкой 
, где q – знаменатель р.
Рассмотрим пример
.
Здесь
, 
. 
, 
, 
.
Делаем замену
, 
, 
.
Тогда
.
Этот интеграл вычисляется также как интегралы в пп. 4, 5
Упражнение. Вычислить соответствующие интегралы от дифференциального бинома входящие в расчетно-графическую работу.
|
|
| Найти неопределенные интегралы (в пунктах 1.1-1.5 результаты проверить дифференцированием) 1.1 | 1.2 | ||||
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
| 11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
| 21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
| 1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
| 11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
| 21. 
22. 
23.
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
|
| 1.3 | 1.4 | ||||
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
| 11.
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
| 21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
| 1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
| 11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
| 21. 
22. 
23. 
24. 
25.
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
|
| 1.5 | 1.6 | ||||
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
| 11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
| 21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
| 1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
| 11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
| 21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
|
| 1.7 | 1.8 | ||||
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
| 11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
| 21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
| 1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
| 11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16.
17. 
18. 
19. 
20. 
| 21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
|
| 1.9 | 1.10 | ||||
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
| 11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
| 21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
| 1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
| 11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
| 21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
|
| 1.12 | |||||
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
| 11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19.
20. 
| 21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
| 1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
| 11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
| 21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
|
|
|
| 1.13 | 1.14 | ||||
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
| 11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
| 21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
| 1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
| 11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
| 21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
|
| 2.1 | 2.2 | ||||
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
| 11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
| 21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
| 1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
| 11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
| 21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
|