Тригонометрические функции





При интегрировании тригонометрических функций часто оказываются полезными следующие формулы

;

;

.

Например,

.

Иногда удобно использовать формулу следующим образом:

.

Рассмотрим интеграл вида

С рациональной функцией R.

При любой функции такой интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью универсальной тригонометрической подстановки

.

.

В некоторых случаях процедуру сведения интеграла к интегралу от рациональной функции можно упростить. Рассмотрим эти случаи.

1) Если , то удобнее воспользоваться постановкой

.

2) При условии , проще всего использовать замену

.

3) В случае , поможет подстановка

.

Например,

.

Интеграл вида можно рационализировать посредством подстановки , при этом

.

Упражнение. Решить соответствующие задания из расчетно-графической работы.

 

Интегрирование иррациональных функций.

Если подынтегральная функция содержит радикалы вида , , , то часто бывает полезно сделать одну из следующих замен:

,

,

или

, ,

.

В следующем интеграле воспользуемся последней из замен

.

Иногда могут помочь тригонометрические или гиперболические подстановки другого вида:

.

Упражнение. Решить соответствующие интегралы из расчетно-графической работы.

Рассмотрим интеграл вида:

.

Выделим из рациональной функции целую часть ,

и разложим правильную дробь на сумму простейших дробей. После этого задача о нахождении интеграла сводится к нахождению интегралов:

1) 2) , 3)

Первый интеграл считается с помощью формулы

.

Чтобы найти коэффициенты многочлена степени n-1 и число надо продифференцировать эту формулу.

.

После дифференцирования получим

.

Приравниваем коэффициенты

.

Отсюда,

.

.

Посчитаем теперь второй интеграл с помощью замены .

Получим

.

Таким образом, второй интеграл сведен к предыдущему.

Осталось рассмотреть третий интеграл. В случае делаем замену . Когда , нужна замена , при этом и подбираются такими, чтобы в трехчленах не осталось членов с первой степенью. Для этого надо решить относительно и уравнения.

, .

После замены получим интегралы

.

В первом из них применим подстановку , во втором - подстановку .

Рассмотрим соответствующие примеры. Первый случай :

.

Случай второй ( :

.

Решаем систему

, .

, .

Делаем замену , , .

Дальше интеграл считается совершенно аналогично предыдущему.

Интеграл вида

, , , где - рациональная функция, можно свести к интегралу от рациональных функций посредством одной из подстановок Эйлера:

, a>0,

, c>0,

, ,

где один из корней квадратного трехчлена .

.

.

.

.

.

Упражнение. С помощью подстановки Эйлера вычислить соответствующие интегралы из расчетно-графической работы.

 

Интегралы вида

,

где , , причем , называют интегралом от дифференциального бинома. Данный интеграл сводится к интегралу от рациональной функции в следующих трех случаях:

- подстановкой , где - общий знаменатель m , n;

- подстановкой , где q – знаменатель р;

- подстановкой , где q – знаменатель р.

Рассмотрим пример

.

Здесь

, . , , .

Делаем замену

, , .

Тогда

.

Этот интеграл вычисляется также как интегралы в пп. 4, 5

Упражнение. Вычислить соответствующие интегралы от дифференциального бинома входящие в расчетно-графическую работу.

 


Найти неопределенные интегралы (в пунктах 1.1-1.5 результаты проверить дифференцированием) 1.1 1.2
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.   11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.
           

 

1.3 1.4
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.
           

 

 

1.5 1.6
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.
           

 

 

1.7 1.8
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.
           

 

1.9 1.10
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.
           

 

1.12
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.
           

 

 

1.13 1.14
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.
           

 

 





©2015-2018 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных

Обратная связь

ТОП 5 активных страниц!