Муравьев А.Н.,
Котова И.А.
Интегрирование функций
одной переменной
Методические указания и задания
к выполнению расчетно-графической работы для студентов
экономического факультета
БРЯНСК 2012
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
«Брянская государственная инженерно-технологическая академия»
Утверждены редакционным
Советом БГИТА
Протокол N от ___________
Интегрирование функций
одной переменной
Методические указания и задания
к выполнению расчетно-графической работы для студентов
экономического факультета
Брянск 2012
Составител: Муравьев А. Н.
Котова И.А.
Компьютерный набор: Муравьев А. Н., Котова И.А.
Рецензент: к.ф.-м. наук, профессор Евтюхов К.Н.
Рекомендованы редакционной комиссией
механико – технологического факультета
Протокол N от __________________
Рассматриваются основные теоретические сведения, связанные с понятием неопределенного интеграла, его свойствами и методами интегрирования. Приводятся подробные вычисления интегралов на примерах. Приведены задания для расчетно-графической работы.
Методические указания предназначены для студентов 1-го курса экономического факультета.
Содержание
1. Таблица простейших интегралов ……………………………………… 3
2. Замена переменной ……………………………………………………... 5
3. Интегрирование по частям ……………………………………………... 8
4. Интегрирование рациональных функций ………………….…………. 12
5. Метод Остроградского …………………………………………………. 15
6. Тригонометрические функции ………………………………………… 20
7. Интегрирование иррациональных функций ………………………….. 22
8. Задания для расчетно-графической работы ……………………….….. 25
9. Примеры выполнения заданий РГР …………….……………………... 50
Таблица простейших интегралов
Определение 1. Функция F называется первообразной для функции f на множестве Х, если для всех 
. В дальнейшем множество Х указывать не будем. Совокупность всех первообразных для функции 
называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается 
. Если 
первообразная для , то 
, где С - произвольная константа.
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
; 
;
; 
;
ТАБЛИЦА ПРОСТЕЙШИХ ИНТЕГРАЛОВ
, 
, 
,
, 
, 
,
, 
,
, 
,
, 
,
, 
,
, 
,
, 
.
Приведем некоторые примеры вычисления неопределенных интегралов.
.
Проверим результаты интегрирования. Найдем производную функцию от полученного результата.
Упражнение. Применяя таблицу простейших интегралов выполнить задания 1-5 из расчетно-графической работы. Результаты интегрирования проверить дифференцированием.
Замена переменной
Используя формулу для дифференциала функции 
, с помощью замены 
часто удается упростить интегральное выражение вида
,
где 
- первообразная для функции 
.
Приведем некоторые формулы для преобразования дифференциалов:
, 
,
, 
,
, 
.
Рассмотрим несколько примеров.
.
.
Иногда при интегрировании функции, содержащей в знаменателе неразложимые квадратные трехчлены (с отрицательными дискриминантами), надо выделить в трехчлене полный квадрат. Общее правило выделения полного квадрата в неразложимом трехчлене:
.
Рассмотрим простейшие примеры.
.
.
Иногда удобнее проводить замену переменных в обратном порядке. Пусть 
и 
взаимообратные и непрерывно дифференцируемые функции. Если - 
первообразная для функции 
, то
.
Функция подбирается так, чтобы упростить подынтегральное выражение.
.
Если дробных степеней от выражений 
несколько, то делаем замену
,
где р – наибольший общий знаменатель всех показателей степеней.
.
При этом мы разделили 
на 
.
Вычислим еще несколько интегралов.
.
.
Интегрирование по частям
Если 
, 
- непрерывно дифференцируемые функции, то справедлива формула интегрирования по частям
или
.
Приведем наиболее типичные примеры.
.
.
.
Такие интегралы аналогичным образом вычисляются и в случае, когда в первом интеграле вместо множителя 
или во втором интеграле вместо множителя 
стоит некоторый многочлен степени n. При этом надо интегрировать последовательно по частям n раз.
Интегралы следующих типов выражаются сами через себя.
.
Отсюда,
, 
.
.
Поэтому,
, 
.
Упражнение. Применяя метод интегрирования по частям, выполнить соответствующие задания из расчетно-графической работы.