4.1. Два строительных управления ведут строительство микрорайона. Первое управление выполняет 60% работ, второе – 40%. Вероятность того, что наудачу взятый объект, выполненный первым управлением, будет сдан в эксплуатацию досрочно, равна 0,9; вторым – 0,8. Найти вероятность того, что наудачу взятый объект микрорайона будет сдан в эксплуатацию досрочно. (0,86)
4.2. В двух ящиках имеются радиолампы. В первом ящике содержится 12 ламп, из них 1 нестандартная; во втором 10 ламп, из которых 1 нестандартная. Из первого ящика наудачу взята лампа и переложена во второй. Найти вероятность того, что наудачу извлечённая из второго ящика лампа будет нестандартной. (13/132)
4.3. Вероятности того, что во время работы цифровой электронной машины возникает сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах относятся как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя соответственно равны 0,8; 0,9; 0,9. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен. (0,87)
4.4. Вероятность того, что в декабре кладочные работы (на цементном растворе) при сооружении данного объекта будут произведены с оценкой «отлично», равна 0,9 при температуре воздуха не ниже - 
С, равна 0,8 при температуре от - С до - 
С и равна 0,7, если температура воздуха ниже - С. По сведениям метеоцентра, вероятности того, что средняя температура декабря не ниже - С, равна 0,3; между - С и - С – 0,5 и ниже - С – 0,2. Найти вероятность того, что качество кладочных работ окажется отличным. (0,81)
4.5. Радиолампа может принадлежать к одной из трёх партий с вероятностями 0,25; 0,5; 0,25. Вероятности того, что лампа проработает заданное число часов, равны для этих партий соответственно 0,7; 0,8 и 0,6. Определить вероятность того, что лампа проработает заданное число часов. (0,665)
4.6. Характеристика материала, взятого для изготовления продукции, с вероятностями 0,09; 0,16;0,25; 0,25; 0,16 и 0,09 может находиться в шести различных интервалах. В зависимости от свойств материала вероятности получения первосортной продукции равны соответственно
0,7; 0,8; 0,5;0,5; 0,6 и 0,7. Определить вероятность получения первосортной продукции. (0,60)
4.7. Подводная лодка выпускает по атакуемому кораблю торпеду. Вероятность попадания торпеды в носовую часть корабля равна 0,3, в среднюю – 0,4, в кормовую – 0,2. Вероятность потопления корабля при попадании в носовую часть равна 0,5, в среднюю – 0,9 и в кормовую – 0,6. Определить вероятность потопления корабля одной торпедой. (0,63)
4.8. По объекту производят пуск двух ракет. Вероятность попадания в него первой ракеты равна 0,8, второй – 0,9. Вероятность уничтожения объекта при
попадании в него одной ракеты равна 0,6, при попадании двух ракет –0,8. Найти вероятность уничтожения объекта. (0,732)
4.9. Система сигнализации состоит из трёх независимо работающих блоков и выходит из строя в случае отказа двух или трёх блоков. Вероятности отказа
1-го блока 0,2, 2-го –0,3, 3-го – 0,1. Найти вероятность того, что в случайный момент времени система сигнализации выйдет из строя (0,098)
4.10. Рассматривается посадка самолёта. Если позволяет погода, лётчик сажает самолёт, наблюдая за аэродромом визуально. В этом случае вероятность благополучной посадки равна 0,98. Если аэродром затянут низкой облачностью, лётчик сажает самолёт вслепую по приборам. Надёжность (вероятность безотказной работы) приборов равна 0,96. Если приборы сработают нормально, то самолёт садится благополучно с той же вероятностью 0,98, что и при визуальной посадке. Если же приборы не сработают, то лётчик может благополучно посадить самолёт лишь с вероятностью 0,4. Найти полную вероятность благополучной посадки самолёта, если известно, что вероятность наличия над аэропортом низкой облачности равна 0,1 (0,978)
Формулы Байеса
Предположим, что событие 
может наступить в условиях одной из несовместимых гипотез 
, образующих полную группу. Пусть известны вероятности гипотез до испытания
и вероятности появления события в условиях каждой гипотезы:
| 
, | 
,..., | 
.
Допустим, что проведено испытание, в результате которого событие 
появилось. Это влечёт за собой переоценку вероятностей гипотез. Вероятности гипотез после испытания определяются по формулам:
| 
Пример 5.1. В первом ящике 8 цветных шаров и 2 белых, во втором – 10 цветных и 3 белых. Из первого ящика во второй переложили один шар. После этого из второго ящика вытащили наудачу один шар; он оказался цветным. Найти вероятность того, что из ящика в ящик был переложен цветной шар.
Решение. Обозначим через А – событие, что из второго ящика вытаскивается цветной шар, через 
- гипотезу, что из 1-го ящика во 2-ой перекладывается цветной шар, через 
- гипотезу, что из 1-го ящика во 2-ой перекладывается белый шар. Тогда
Мы должны вычислить 
По формуле Байеса имеем:
Пример 5.2. По некоторому объекту произведён пуск 2-х ракет. Вероятность попадания в него 1-ой ракетой равна 0,8, второй – 0,7. Вероятность уничтожения объекта при попадании одной ракеты равна 0,6, а при попадании двух – 0,9. В результате пуска обеих ракет объект был уничтожен. Найти вероятность того, что в объект попали обе ракеты.
Решение. Событие - уничтожение объекта. Событие 
- попадание в объект 1-ой ракеты, 
- попадание в объект 2-ой ракеты.
По условию: 
Гипотезы:
попадание в объект 1-ой ракеты и промах 2-ой;
попадание в объект 2-ой ракеты и промах 1-ой;
попадание обеих ракет;
промах обеих.
Используя теорему умножения независимых событий, находим:
Легко проверить, что наши гипотезы образуют полную группу, сложив полученные вероятности и убедившись, что их сумма равна 1. По условию дано, что | = 0,6, | = 0,6, | 
= 0,9 и, очевидно, что | 
= 0.
Искомая вероятность находится по формуле Байеса:
| 
| 