Если покупатель оплачивает сделанную в магазине покупку, то совокупность передаваемых кассиру денег может рассматриваться как:
a) сочетание без повторений, если оплата осуществляется только банкнотами, каждая из которых имеет уникальный номер;
b) сочетание с повторениями, если оплата осуществляется монетами, среди которых могут встречаться неотличимые монеты одного достоинства.
Выведем формулы для определения числа сочетаний из n по m с повторениями и без повторений.
1. Число сочетаний без повторений из n по m.
Пусть D это некоторое множество, состоящее из n элементов. Рассмотрим все размещения без повторений из n по m, составленные из элементов этого множества. Число таких размещений равно .
Компоненты каждого такого размещения определяют некоторое сочетание без повторений из n по m, составленное из элементов этого размещения. При этом размещения, отличающиеся лишь порядком вхождения значений, образуют одно и то же сочетание.
Поскольку размещения, соответствующие одному и тому же сочетанию являются перестановками элементов этого сочетания, то всякое сочетание порождается m! различными размещениями. Обозначим число сочетаний из n по m без повторений как .
Поэтому имеет место равенство m! = .
Следовательно, справедлива следующая формула для числа сочетаний без повторений: = .
Пусть D - это произвольное множество, содержащее n элементов. Тогда число m -элементных подмножеств этого множества равно . Значит число всех различных подмножеств данного множества равно + +... + .
С другой стороны, поскольку число подмножеств n -элементного множества равно 2 n, то для сочетаний без повторений справедливо равенство:
+ +... + = 2 n.
Упражнение
Используя комбинаторные доводы доказать справедливость равенств:
1) (1 - x) r = x0 +... + (- 1) i xi +... + (- 1) r xr.
2) = .
2. Число сочетаний с повторениями из n по m.
Пусть D = { a 1,..., a n } - некоторое множество. Сочетания с повторениями, содержащие по m элементов этого множества, будем представлять двоичными последовательностями длины n + m - 1, составленными из m нулей и n - 1 единиц.
Двоичная последовательность, сопоставляемая отдельному сочетанию, состоит из n групп последовательно идущих нулей разделенных, n - 1 единицами.
В i -й группе нулей, отсчитываемой слева направо, столько нулей, сколько экземпляров элемента a i входит в выбранное сочетание. Если некоторый элемент не входит в сочетание без повторений ни одного раза, то соответствующая ему группа нулей окажется пустой.
Например, если A = { a 1, a 2, a 3, a 4}, то сочетание с повторениями, содержащее 2 элемента a 1, 3 элемента a 2и 2 элемента a 4 представляется двоичным набором:
(0 0 1 0 0 0 1 1 0 0).
Покажем, что определенное ранее соотношение между сочетаниями с повторениями из n по m и двоичными последовательностями длины n + m - 1, содержащими по m нулей, является биективным.
Всякая двоичная последовательность длины n + m - 1, содержащая m нулей, разбивается входящими в неё единицами на n последовательно идущих групп нулей, определяющих количества вхождений элементов a 1,..., a n в m элементное сочетание с повторениями. Следовательно, соотношение сочетаний с повторениями и двоичных последовательностей является сюрьективным.
Покажем, что если a = s1,..., sm+n-1 и b = d1,..., dm+n-1 - две разные двоичные последовательности, то они представляют разные сочетания с повторениями. Пусть V1,..., Vn и W1,..., Wn - последовательности групп нулей разделенных единицами в последовательностях a и b. Тогда найдется такое i, что V i ¹ W i. В противном случае a и b оказываются равными. Следовательно, соотношение сочетаний с повторениями и двоичных последовательностей является инъективным.
Поэтому, число сочетаний с повторениями из n по m равно числу рассматриваемых двоичных последовательностей.
Легко проверить, что последних ровно столько, сколько имеется различных способов выбора из n + m - 1 позиций в двоичных последовательностях, таких n - 1 позиций, в которые записываются единицы. В каждом случае остальные позиции последовательности заполняются нулями.
Число способов выбора различных n - 1 позиций, если имеется n + m - 1 разных позиций, равно: .
Для обозначения числа сочетаний с повторениями из n по m применяется запись . Поэтому справедлива формула:
= .
Рассмотрим несколько примеров задач, приводящих к использованию сочетаний с повторениями.
1. Определить число способов составления букета из 7 гвоздик, если имеются гвоздики трех цветов.
Очевидно, что букеты как комбинаторные объекты представляют собой сочетания с повторениями из 3 по 7. Поэтому число различных букетов равно .
2. Пусть имеется n одинаковых книг. Сколько может быть способов расстановки таких книг на шести полках книжного шкафа?
Очевидно, что всякая расстановка книг на полках соответствует сочетанию с повторениями из 6 элементов по n. В таком сочетании содержатся номера полок. Число вхождений номера некоторой полки в сочетание равно количеству книг, помещенных на эту полку.
Поэтому число указанных расстановок книг на полках равно .