ФОРМУЛА ВКЛЮЧЕНИЙ-ИСКЛЮЧЕНИЙ

Пусть A и B - произвольные множества. Тогда мощность их объединения может быть определена по формуле:

| A È B | = | A | + | B | -| A Ç B |. (1)

Если рассмотреть объединение трех множеств A, B и С, то справедлива следующая формула:

| A È B È С |=| A |+| B |+| С |-| A Ç B |-| A Ç C |-| B Ç C |+| A Ç B Ç C |. (2)

Справедливость каждой их приведенных формул легко может быть проверена с помощью диаграмм Венна для произвольных двух и трех множеств. Для этого достаточно посчитать, сколько раз учитывается в правой и левой части каждого равенства всякий элемент объединения.

Применение приведенных формул при решении конкретных задач может быть оправдано, если нахождение каждого значения в правой части соответствующей формулы проще нахождения всего значения ее левой части.

Считается, что в общем случае объединения множеств устроены сложнее, чем пересечения множеств. Например, множество A È B È С в общем случае может рассматриваться как более разнородное, чем каждое из входящих в него множеств A, B и С, поскольку содержать элементы обладающие и не обладающие свойствами элементов множеств A, B и С, в разных комбинациях, в которых достаточно выполнимости лишь одного из свойств элементов этих множеств.

Действительно, в A È B È С могут содержаться элементы, обладающие только свойством элементов множества A. Там же могут содержаться элементы не из A, но обладающие свойствами элементов множеств B или C.

Множества, мощности которых используются в правых частях формул (1) и (2), образованы пересечениями отдельных множеств и поэтому более однородны, поскольку все их элементы обладают одним и тем же свойством, представляемым конъюнкцией свойств элементов множеств входящих в пересечение.

Приведенные формулы (1) и (2) могут быть обобщены на случай объединения произвольного конечного числа множеств так, чтобы свести задачу нахождения мощности объединения множеств к серии задач, связанных с нахождением мощностей нескольких пересечений множеств.

Пусть заданы конечные множества A ₁,..., A _k и такое число i, что 0 £ i £ k. Обозначим как n_i сумму мощностей всех возможных пересечений по i таких множеств.

Заметим, что n_i является суммой слагаемых, так как существует ровно столько различных пересечений по i множеств из k.

ТЕОРЕМА 2.1

| A_i | = n₁ +... + (- 1) ^{i- 1} n_i +... + (- 1) ^{k- 1} n_k. (1)

Доказательство

Пусть a - это произвольный элемент, входящий в A_i.

Покажем, что в левой и правой частях равенства (1) этот элемент множества A учитывается ровно один раз.

Для левой части (1) очевидно, что это так.

Рассмотрим правую часть доказываемого равенства. Предположим, что a содержится в r разных множествах из множеств A ₁,..., A _k. Тогда:

- в n ₁ элемент a учтен раз;

- в n ₂ элемент a учтен раз;

...

- в n _r элемент a учтен раз.

В последующих слагаемых правой части (1) элемент a не учитывается ни разу.

Поэтому в выражении:

n ₁ +... + (- 1) ^{i- 1} n _i +...+(- 1) ^{k- 1} n_k

элемент a учтен ровно

+... + (- 1) ^{i- 1} +... + (- 1) ^{r- 1} раз.

Докажем равенство:

+... + (- 1) ^{i- 1} +... + (- 1) ^{r- 1} = 1. (2)

Перенесем все члены этого равенства в правую часть и с учетом того, что = 1, получим:

0 = - +... + (- 1) ⁱ +... + (- 1) ^r . (3)

Воспользуемся формулой бинома Ньютона:

(1 - x) ^r = - x +... + (- 1) ⁱ xⁱ +...+(- 1) ^r x^r.

Очевидно, что формула (3) - частный случай бинома Ньютона для x = 1.

Значит, равенство (2) является справедливым. Поэтому элемент a учитывается в правой части формулы (1) ровно один раз.