Критерий дифференцируемости.

Для того чтобы функция была бы дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Отметим, что при этом .

Из определения дифференцируемости непосредственно вытекает

Теорема.

Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Обратное утверждение неверно: достаточно рассмотреть функции или в точке .

Пример 3. Пользуясь основными правилами дифференцирования и формулой для производной экспоненты, найти производные гиперболических функций.

Рассмотрим ряд примеров на вычисление производных сложных функций.

Пример 4. , ,

Пример 5. .

Пример 6. .

Пример 7. .

Если правило дифференцирования сложной функции применить для четной или нечетной функции, то приходим к ранее доказанным соотношениям:

;

Теорема о производной обратной функции

Пусть функция непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки и в этой точке имеет отличную от нуля производную . Тогда обратная функция в соответствующей точке также имеет производную, равную .

Пример 8. Найти производные обратных тригонометрических функций.

1) , ; 2) , ;

3) , 4) .

1) , .

2) , .

3)-4) В силу тождеств ,

заключаем, что

, .

Результаты, полученные в примерах 1, 3, 8 приводят нас к таблице основных производных.

Таблица производных основных элементарных функций

Если - независимая переменная, то

I. ,

II.

III.

IV. V.

VI. VII.

VIII. IX.

X. XI.

XII. XIII.

XIV. XV.

Пример 9. Найти производную функции .

Пример 10. Найти производную функции .

Как следствие примеров 9, 10 имеем тождества:

Если , то получим: , , откуда следует, что , и тождества примут вид:

Пример 11. Найти производную функции

Функция определена, если Это неравенство равносильно неравенствам: которые выполняются для . Итак, функция определена на . Найдём её производную:

После преобразований подкоренного выражения

получим:

Таким образом, определена во всех точках, кроме , . В указанных точках принимает значения либо - и не является дифференцируемой.

Если функция, производную которой нужно найти, упрощается после логарифмирования, целесообразно искать сначала не , а .

Пример 12. Найти производную функции

Функция определена при , причём

Другим приёмом, облегчающим дифференцирование, является введение промежуточной переменной.

Пример 13. Найти производную следующих функций:

1) Пусть , тогда .

По правилу дифференцирования сложной функции получим:

2) Пусть , . Тогда , и дифференцируя, получаем:

Пример 14. Установить формулу дифференцирования степенно-показательных выражений

Дифференцируя это равенство как сложную функцию, получим

откуда

Этот же результат можно получить, дифференцируя равенство .

Пример 15. Найти если .

Функция определена во всех точках числовой оси, кроме тех, где: 1)

Логарифмируя, получим:

Тогда

Так как

и то выражение для производной примет вид:

Пример 16. Установить, при каком условии функция имеет: а) ограниченную производную в окрестности начала координат; б) неограниченную производную в этой окрестности.

Найдём в окрестности точки

Для нахождения производной в точке используем определение: только если

а) Очевидно, ограничена в окрестности точки когда откуда следует

б) Из формулы для производной следует, что будет неограниченной, если , либо , либо и то, и другое одновременно. Так как существует только при то производная является неограниченной в окрестности точки если

Пример 17. Показать, что функция

имеет точки недифференцируемости в любой окрестности точки но дифференцируема в этой точке.

- производная в точке существует. Функция не имеет производной в точках, где , т.е. при . Тогда

Так как

, то:

Пример 18. Исследовать на дифференцируемость функции:

1) Данная функция ограничена и непрерывна на . Дифференцируя, получим: . В точках, где , т.е. при производная не существует. Действительно, сделав замену , получим: . В точках , будем иметь:

Если же то , поэтому

2) На промежутке производная равна

, на промежутке постоянна и равна -1, а на промежутке - . В точках и найдём и по определению:

В точке левая и правая производные существуют и равны 1, т.е. функция дифференцируема в этой точке.

. Следовательно, функция не дифференцируема в точке

Пример 19. Доказать, что если функция дифференцируема и , то . Обратно, если для функции существует указанный предел, то можно ли утверждать, что эта функция имеет производную? Рассмотреть функцию Дирихле.

Так как функция дифференцируема, то существует предел поэтому если положить при то будет существовать и предел Однако существование последнего предела не означает наличия производной в точке Действительно, для функции Дирихле при также и , поэтому и указанный предел существует. Однако, если взять где , то и Следовательно, функция не имеет производной в любой точке .

Пример 20. Для функции определить левую и правую производные, если:

1) ;

2) ; 3) .

1) По правилам дифференцирования при имеем:

. В точке ищем левую и правую производные по определению:

2) При имеем:

. В точке воспользуемся определением:

3) Так как , то при , а при , откуда следует: . В точках производная может быть найдена только по определению:

Пример 21. На сегменте построить сопряжение двух полупрямых и с помощью кубической параболы , где параметры и подлежат определению.

Коэффициенты и должны иметь такие значения, чтобы полученная функция была бы дифференцируемой в точках и . Поэтому:

Аналогично для точки : , . Следовательно, необходимое сопряжение будет построено, если будут выполнены условия:

, откуда следует: , .

Пример 22. Можно ли утверждать, что сумма не имеет производной в точке , если: а) функция имеет в точке производную, а функция не имеет производной в этой точке; б) обе функции не имеют производной в точке ?

а) Можно. Для этого необходимо рассмотреть предел

, а этот предел не существует, ибо не существует .

б) Нельзя. Например, функции и не имеют производной в точке , а их сумма дифференцируема в этой точке.

Пример 23. Может ли функция в точке разрыва иметь:

а) конечную производную; б) бесконечную производную?

а) Нет. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

б) Да, например, для :

, .

Пример 24. Можно ли почленно дифференцировать неравенство между функциями?

Нельзя. Например, для , но для производных этих функций и на интервале неравенство поменяет знак на противоположный.

Пример 25. Доказать, что производная дифференцируемой периодической функции есть функция снова периодическая с тем же периодом.

Пусть - периодическая функция. Тогда:

Пример 26. Определить области существования обратных функций и найти их производные, если:

а) ;

б) ; в) ; г) .

а) Множество значений данной функции есть множество . для . Тогда областью определения обратной функции является вся числовая ось, а её производная равна: , где .

б) Функция непрерывна и монотонна на , множество её значений - также вся числовая ось, . Следовательно, обратная функция определена и непрерывна на , а её производная равна: , где .

в) Функция непрерывна и монотонна на , обратная функция также определена на множестве вещественных чисел. Так как , то , где .

г) Функция определена и монотонна на , обратная функция также определена на множестве . Так как , то .

Пример 27. Выделить однозначные непрерывные ветви обратных функций и найти их производные, если .

Функция определена и непрерывна на . Её производная положительна при и отрицательна при . Следовательно, на интервалах и существуют дифференцируемые обратные функции. Обозначим эти функции

и , тогда будет монотонно убывающей, а - монотонно возрастающей, так как . Для получения и разрешим уравнение относительно , . При этом: , .

Критерий дифференцируемости.

Поиск по сайту