Упражнения для самостоятельной работы

1. Для функции определить: 1) 2) и сравнить их, если: а) б) в) .

Найти дифференциал функции , если:

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

13. 14. 15.

Пусть и - дифференцируемые функции от . Найти дифференциал функции , если:

16. 17. 18. 19.

20. 21. 22. 23.

24. Доказать приближённую формулу: где ( весьма мало по сравнению с ). С помощью этой

формулы вычислить: а) б) в) и сравнить с табличными данными.

25. С какой относительной погрешностью можно измерить радиус шара, чтобы объём его можно было определить с точностью до 1%?

26. Определить абсолютную погрешность десятичного логарифма числа , , если относительная погрешность этого числа равна .

27. В круговом секторе радиус и центральный угол . Определить приближённо, насколько изменится площадь этого сектора, если: а) радиус его увеличить на 1 см; б) угол уменьшить на ?

Найти:

28. 29. 30.

31. 32.

33. Написать уравнения касательной инормали к кривой в точках: а) б) в)

34. Доказать, что парабола пересекает ось под углами и , равными между собой.

35. Под каким углом кривая пересекает ось

36. Под какими углами пересекаются кривые и ?

37. Под какими углами пересекаются кривые и ?

38. При каком выборе параметра кривая пересекает ось под углом, большим ?

39. Показать, что кривая а) при касается оси б) при касается оси .

40. Доказать, что у астроиды , длина отрезка касательной, заключённого между осями координат, есть величина постоянная.

41. При каком соотношении между коэффициентами парабола касается оси

42. Доказать, что кривые и , где - дифференцируемая функция, касаются друг друга в общих точках.

Найти производную следующих параметрически заданных функций:

43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50.

51. Найти , если: а) ; б) в)

г) д) ; где - полярные координаты.

52. Показать, что функция , определяемая системой уравнений дифференцируема при , однако её производная не может быть найдена по обычной формуле.

53. Написать уравнения касательной и нормали к кривой: в точках а) б)

 

§3. Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Ферма.

Пусть функция определена на промежутке X и во внутренней точке принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если существует двусторонняя производная , то необходимо .

Геометрическое истолкование производной как углового коэффициента касательной приводит к тому, что если , то касательная к кривой в этой точке параллельна оси . Предположение, что точка является внутренней, существенно, так как мы рассматриваем точки x справа и слева от .

Теорема Ролля.

Пусть: 1) функция непрерывна на замкнутом промежутке ; 2) дифференцируема во всех его внутренних точках; 3) . Тогда найдется такая точка , что .

Геометрически теорема Ролля означает следующее: если крайние ординаты кривой равны, то внутри промежутка найдется точка (одна или несколько), в которой касательная к кривой параллельна оси (рис. 2).

Пример 1. Функция обращается в нуль при и , но тем не менее при . Объяснить кажущееся противоречие с теоремой Роля.

Противоречия с теоремой Роля нет, так как не выполнено условие 2 теоремы Роля: функция не дифференцируема в точке , хотя во всех других точках интервала существует конечная производная .

Теорема Лагранжа.

Пусть функция определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a,b] и существует конечная производная в открытом промежутке (a,b). Тогда найдется такая точка , что имеет место равенство

.

Эту теорему называют теоремой о среднем в дифференциальном исчислении. Теорема Ролля есть частный случай теоремы Лагранжа (условие сразу дает ).

Геометрическая интерпретация теоремы следует из сравнения левой и правой части равенства: левая часть дает угловой коэффициент хорды AB; правая же есть угловой коэффициент касательной к кривой в точке (рис. 3). Отсюда заключаем, что на дуге AB найдется, по крайней мере, одна точка M, в которой касательная параллельна хорде.

Выберем и придадим ему приращение , не выводящее за пределы этого промежутка. К промежутку или применим формулу Лагранжа. Число из промежутка можно представить

в виде , , тогда формула Лагранжа примет вид: .

Полученная формула носит название формулы конечных приращений Лагранжа. Это равенство дает точное выражение для приращения функции при любом конечном приращении в отличие от приближенного ,

погрешность которого стремится к нулю лишь при . И хотя величины и , вообще говоря, неизвестны, формула Лагранжа нашла многочисленные приложения в математическом анализе.

Из теоремы Лагранжа следует важное утверждение, позволяющее установить свойство производной.

Следствие. Пусть функция непрерывна в точке и имеет конечную производную всюду в правой (левой) полуокрестности точки . Тогда, если производная имеет в точке правое (левое) предельное значение, то это предельное значение равно правой (левой) производной в точке : , .

Отметим, что условие непрерывности функции в точке существенно. Например, для функции в точке оно не выполнено, и функция не имеет в этой точке ни левой, ни правой конечных производных. Однако вместо условия непрерывности можно потребовать существования левой (правой) производной в самой точке , что влечёт за собой непрерывность в точке слева (справа).

Данное следствие может быть использовано для нахождения односторонних производных.

Пример 2. Определить угол между левой и правой касательными к кривой в точке .

Так как

, ,

то , .

Тогда для левой и правой касательных в точке получим следующие уравнения: и . Очевидно, что угол между этими прямыми равен .

Из приведённого следствия вытекает важное свойство производной: если функция имеет конечную производную всюду на интервале , то не может иметь на этом интервале ни точек устранимого разрыва, ни точек разрыва первого рода.

Приведём пример функции, производная которой существует и конечна всюду на некотором интервале и имеет в некоторой точке разрыв второго рода:

Для любого производная равна , в точке найдём по определению: . Функция не имеет в точке ни левого, ни правого пределов, ибо не существует , следовательно, в точке функция имеет разрыв второго рода.

Теорема Коши. Пусть: 1) функции и непрерывны в замкнутом промежутке ; 2) функции имеют конечные производные, по крайней мере, в открытом промежутке; 3) на . Тогда найдется такая точка , что

.

 

Очевидно, что теорема Лагранжа есть частный случай теоремы Коши и получается из последней при . Геометрическая иллюстрация ее такая же, что и для теоремы Лагранжа: на параметрически заданной кривой , , существует точка , , в которой касательная параллельна хорде, соединяющей начало и конец этой кривой:

.

Пример 3. Объяснить, почему не верна теорема Коши для функций и на сегменте .

Так как в точке производные обеих функций обращаются в нуль: , , то формула Коши неприменима.

Теоремы Лагранжа и Коши с успехом применяются для доказательства равенств и неравенств.

Пример 4. Доказать неравенство: , если .

Рассмотрим функцию на отрезке . По теореме Лагранжа получим: , где . Так как , то , откуда и следует требуемое неравенство.

Пример 5. Пусть функция дифференцируема на сегменте , причём . Доказать, что , где .

Преобразуем левую часть равенства:

.

К функциям и применим теорему Коши на отрезке (её условия выполнены, ибо точка не принадлежит данному сегменту):

.

Равенство доказано.

Пример 6. Доказать тождество: при .

Так как , а функция при равна , то тождество примет следующий вид:

или

.

К функциям и на отрезке применим теорему Коши:

, где . Правая часть полученного равенства равна 1:

Тождество доказано.

Пример 7. Доказать, что если функция имеет в конечном или бесконечном интервале ограниченную производную : , то равномерно непрерывна на .

Из существования производной на следует непрерывность функции на . Возьмем две произвольные точки , . Для промежутка применим теорему Лагранжа

.

Тогда

.

Выберем . Как бы ни была расположена пара точек и , лишь только , так .

Теорема Кантора о равномерной непрерывности утверждает выполнение неравенства при условии , но она доказывает лишь существование и не указывает, как оно должно быть мало. Для функции с ограниченной производной в качестве можно взять число .